Упр.127 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений:
   а) $$\begin{cases} x+y-z=2, \\ 2x-y+4z=1, \\ -x+6y-z=5; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} x+y+z=-2, \\ x-y+2z=-7, \\ 2x+3y-z=1. \end{cases}$$

Решим системы поочерёдно.

а)

$$\begin{cases} x+y-z=2,\\ 2x-y+4z=1,\\ -x+6y-z=5 \end{cases}$$

Сложим первое и второе уравнения:

$$(x+y-z)+(2x-y+4z)=2+1$$
$$3x+3z=3$$
$$x+z=1,\quad z=1-x.$$

Из первого уравнения:

$$x+y-(1-x)=2$$
$$2x+y=3$$
$$y=3-2x.$$

Подставим найденные выражения в третье уравнение:

$$-x+6(3-2x)-(1-x)=5$$
$$-x+18-12x-1+x=5$$
$$17-12x=5$$
$$12x=12$$
$$x=1.$$

Тогда

$$y=3-2\cdot 1=1,\qquad z=1-1=0.$$

б)

$$\begin{cases} x+y+z=-2,\\ x-y+2z=-7,\\ 2x+3y-z=1 \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$(x+y+z)-(x-y+2z)=-2-(-7)$$
$$2y-z=5$$
$$z=2y-5.$$

Из первого уравнения:

$$x+y+(2y-5)=-2$$
$$x+3y=3$$
$$x=3-3y.$$

Подставим в третье уравнение:

$$2(3-3y)+3y-(2y-5)=1$$
$$6-6y+3y-2y+5=1$$
$$11-5y=1$$
$$5y=10$$
$$y=2.$$

Тогда

$$x=3-3\cdot 2=-3,\qquad z=2\cdot 2-5=-1.$$

Ответ

а) $$(1;\,1;\,0)$$; б) $$(-3;\,2;\,-1)$$