Упр.126 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите графически неравенство:
а) $$\log_{\frac{1}{2}} x > x-3$$;
б) $$\sqrt{x-2}\ ?\ \frac{3}{x}$$;
в) $$2^{-|x|}\ ?\ x^2+1$$;
г) $$\log_{\frac{1}{3}} x > 2x-7$$.
Рассмотрим каждое неравенство графически.
$$\log_{\frac12} x > x-3.$$
Область определения: $$x>0.$$
Графики функций $$y=\log_{\frac12} x$$ и $$y=x-3$$ пересекаются при $$x=2.$$
На промежутке между нулём и точкой пересечения график логарифмической функции расположен выше прямой, значит
$$x\in(0;2).$$
$$\sqrt{x-2}\le \frac{3}{x}.$$
Область определения: $$x-2\ge 0,\quad x\ne 0.$$
Так как $$x\ge 2,$$ условие $$x\ne 0$$ автоматически выполняется.
Графики функций $$y=\sqrt{x-2}$$ и $$y=\frac{3}{x}$$ пересекаются при $$x=3.$$
На отрезке от $$2$$ до $$3$$ график $$y=\sqrt{x-2}$$ не выше графика $$y=\frac{3}{x},$$ поэтому
$$x\in[2;3].$$
$$2^{-|x|}\ge x^2+1.$$
Так как $$2^{-|x|}\le 1$$ при любом $$x,$$ а $$x^2+1\ge 1,$$ то неравенство возможно только при равенстве обеих частей.
Равенство достигается при $$x=0.$$
Следовательно,
$$x\in\{0\}.$$
$$\log_{\frac13} x > 2x-7.$$
Область определения: $$x>0.$$
Графики функций $$y=\log_{\frac13} x$$ и $$y=2x-7$$ пересекаются при $$x=3.$$
На промежутке $$0<x<3$$ график логарифмической функции расположен выше прямой, значит
$$x\in(0;3).$$
Ответ: а) $$x\in(0;2);$$ б) $$x\in[2;3];$$ в) $$x\in\{0\};$$ г) $$x\in(0;3).$$
