Упр.126 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений: а) $$\begin{cases} u+v=2, \\ |3u-v|=1; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} |x-1|+|y-2|=1, \\ y+|x-1|=3. \end{cases}$$

а) Из первого уравнения выразим $$v$$:

$$u+v=2,\qquad v=2-u.$$

Подставим во второе уравнение:

$$|3u-v|=1 \;\Rightarrow\; |3u-(2-u)|=1 \;\Rightarrow\; |4u-2|=1.$$

Решаем два случая:

$$4u-2=1 \Rightarrow 4u=3 \Rightarrow u=\frac34,\qquad v=2-\frac34=\frac54;$$

$$4u-2=-1 \Rightarrow 4u=1 \Rightarrow u=\frac14,\qquad v=2-\frac14=\frac74.$$

Следовательно,

$$\left(\frac14;\frac74\right),\ \left(\frac34;\frac54\right).$$

б) Обозначим $$a=|x-1|.$$ Тогда система принимает вид:

$$\begin{cases} a+|y-2|=1,\\ y+a=3. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$a=3-y.$$

Подставим в первое:

$$3-y+|y-2|=1 \Rightarrow |y-2|=y-2.$$

Это возможно только при $$y\ge 2.$$ Тогда

$$y-2=y-2,$$

и из уравнения $$a=3-y$$ получаем

$$|x-1|=3-y.$$

Так как $$|x-1|\ge 0,$$ то $$3-y\ge 0,$$ значит $$y\le 3.$$

Итак, $$2\le y\le 3.$$ Тогда

$$x-1=\pm(3-y),$$

откуда

$$x=1\pm(3-y).$$

Следовательно, решения системы:

$$\bigl(1+(3-y);\ y\bigr),\ \bigl(1-(3-y);\ y\bigr),\qquad 2\le y\le 3.$$

Ответ

а) $$\left(\frac14;\frac74\right),\ \left(\frac34;\frac54\right);$$ б) $$\bigl(1\pm(3-y);\ y\bigr),\ 2\le y\le 3.$$