Упр.125 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите графически уравнение:

1. $$\log_{\frac{1}{2}} x=x-3$$;
2. $$\sqrt{x-2}=\frac{3}{x}$$;
3. $$\log_{2} x=2^{5-x}$$;
4. $$2^{|x|}=11-|x|$$.

Рассмотрим каждое уравнение графически.

1. $$\log_{\frac12}x=x-3.$$

   Точки пересечения графиков функций $$y=\log_{\frac12}x$$ и $$y=x-3$$ дают решение уравнения. По графику получаем:

   $$x=2.$$

2. $$\sqrt{x-2}=\frac{3}{x}.$$

   Область определения: $$x-2\ge 0,\ x\ne 0,$$ значит $$x\ge 2.$$

   Графики функций $$y=\sqrt{x-2}$$ и $$y=\frac{3}{x}$$ пересекаются при

   $$x=3.$$

3. $$\log_2 x=2^{5-x}.$$

   Точки пересечения графиков функций $$y=\log_2 x$$ и $$y=2^{5-x}$$ дают решение уравнения. По графику:

   $$x=4.$$

4. $$2^{|x|}=11-|x|.$$

   Положим $$t=|x|,\ t\ge 0.$$ Тогда получаем уравнение

   $$2^t=11-t.$$

   По графику видно, что оно имеет решение $$t=3.$$ Следовательно,

   $$|x|=3,$$

   откуда

   $$x=-3 \text{ или } x=3.$$

Ответ: а) $$x=2$$; б) $$x=3$$; в) $$x=4$$; г) $$x=-3,\ 3$$.