Упр.125 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите системы уравнений:
а) $$\begin{cases}(x-y)(x^2-y^2)=3a^3,\\(x+y)(x^2+y^2)=15a^3;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x^2-xy+y^2=21,\\y^2-2xy+15=0.\end{cases}$$
а) Обозначим:
$$u=x+y,\qquad v=x-y.$$
Тогда
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=uv,$$
и система принимает вид
$$\begin{cases} uv\cdot v=3a^3,\\ u(x^2+y^2)=15a^3. \end{cases}$$
Удобнее воспользоваться исходными уравнениями:
$$\begin{cases} (x-y)(x^2-y^2)=3a^3,\\ (x+y)(x^2+y^2)=15a^3. \end{cases}$$
Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y),$$ то первое уравнение можно записать так:
$$(x-y)^2(x+y)=3a^3.$$
Сложим уравнения системы:
$$(x+y)\bigl((x-y)^2+x^2+y^2\bigr)=18a^3.$$
Но
$$(x-y)^2+x^2+y^2=x^2-2xy+y^2+x^2+y^2=2x^2-2xy+2y^2=2(x^2-xy+y^2).$$
Тогда
$$2(x+y)(x^2-xy+y^2)=18a^3,$$
откуда
$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=9a^3.$$
Делим это равенство на первое:
$$\frac{x^2-xy+y^2}{(x-y)^2}=3.$$
Получаем
$$x^2-xy+y^2=3(x^2-2xy+y^2),$$
$$2x^2-5xy+2y^2=0.$$
Решим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$2x^2-5yx+2y^2=0.$$
$$D=25y^2-16y^2=9y^2,$$
$$x=\frac{5y\pm 3y}{4}.$$
Отсюда:
$$x=\frac{y}{2}\quad \text{или}\quad x=2y.$$
1) Если $$x=\frac{y}{2},$$ то из первого уравнения:
$$\left(\frac{y}{2}-y\right)\left(\frac{y^2}{4}-y^2\right)=3a^3,$$
$$\left(-\frac{y}{2}\right)\left(-\frac{3y^2}{4}\right)=3a^3,$$
$$\frac{3y^3}{8}=3a^3,$$
$$y^3=8a^3,\qquad y=2a,\qquad x=a.$$
2) Если $$x=2y,$$ то
$$(2y-y)(4y^2-y^2)=3a^3,$$
$$3y^3=3a^3,$$
$$y=a,\qquad x=2a.$$
б) Имеем систему:
$$\begin{cases} x^2-xy+y^2=21,\\ y^2-2xy+15=0. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$5$$, а второе на $$7$$:
$$\begin{cases} 5x^2-5xy+5y^2=105,\\ 7y^2-14xy+105=0. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$7y^2-14xy=-105.$$
Сложим полученные уравнения:
$$5x^2-19xy+12y^2=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$5x^2-19yx+12y^2=0.$$
$$D=361y^2-240y^2=121y^2,$$
$$x=\frac{19y\pm 11y}{10}.$$
Отсюда:
$$x=\frac{4y}{5}\quad \text{или}\quad x=3y.$$
1) Если $$x=\frac{4y}{5},$$ то из первого уравнения:
$$\left(\frac{16y^2}{25}\right)-\left(\frac{4y^2}{5}\right)+y^2=21,$$
$$\frac{21y^2}{25}=21,$$
$$y^2=25,\qquad y=\pm 5.$$
Тогда
$$x=\frac{4}{5}y=\pm 4.$$
Получаем пары:
$$(-4,-5),\quad (4,5).$$
2) Если $$x=3y,$$ то из первого уравнения:
$$9y^2-3y^2+y^2=21,$$
$$7y^2=21,$$
$$y^2=3,\qquad y=\pm \sqrt{3}.$$
Тогда
$$x=3y=\pm 3\sqrt{3}.$$
Получаем пары:
$$(-3\sqrt{3},-\sqrt{3}),\quad (3\sqrt{3},\sqrt{3}).$$
Ответ
а) $$(a;2a),\ (2a;a).$$
б) $$(-4;-5),\ (4;5),\ (-3\sqrt{3};-\sqrt{3}),\ (3\sqrt{3};\sqrt{3}).$$
