Упр.124 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют):
   а) $$y=\sqrt{36-x^2}$$;
   б) $$y=\begin{cases}\frac{1}{x+1}, & 0\leqslant x\leqslant 7,\\ x^3+1, & -2\leqslant x<0;\end{cases}$$
   в) $$y=3^{\sin x}$$;
   г) $$y=\begin{cases}(x-1)^2, & -1\leqslant x<1,\\ \log_2 x, & 1\leqslant x\leqslant 8.\end{cases}$$

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{36-x^2}.$$

Так как $$0\le 36-x^2\le 36,$$ то

$$0\le \sqrt{36-x^2}\le 6.$$

Наибольшее значение функции равно $$6,$$ наименьшее — $$0.$$

б) $$y=\begin{cases} \dfrac{1}{x+1}, & 0\le x\le 7,\\[4pt] x^3+1, & -2\le x<0. \end{cases}$$

При $$0\le x\le 7$$ имеем $$1\le x+1\le 8,$$ значит

$$\frac18\le \frac{1}{x+1}\le 1.$$

При $$-2\le x<0$$ получаем $$-8\le x^3<0,$$ поэтому

$$-7\le x^3+1<1.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$1,$$ наименьшее — $$-7.$$

в) $$y=3^{\sin x}.$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

$$3^{-1}\le 3^{\sin x}\le 3^1,$$

то есть

$$\frac13\le y\le 3.$$

Наибольшее значение равно $$3,$$ наименьшее — $$\frac13.$$

г) $$y=\begin{cases} (x-1)^2, & -1\le x<1,\\[4pt] \log_2 x, & 1\le x\le 8. \end{cases}$$

При $$-1\le x<1$$ имеем $$-2\le x-1<0,$$ значит

$$0<(x-1)^2\le 4.$$

При $$1\le x\le 8$$

$$\log_2 1\le \log_2 x\le \log_2 8,$$

то есть

$$0\le \log_2 x\le 3.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$4,$$ наименьшее — $$0.$$

Ответ: а) $$6,\ 0$$; б) $$1,\ -7$$; в) $$3,\ \frac13$$; г) $$4,\ 0$$.