Упр.124 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенства $$\sqrt{(a+c)(b+d)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}$$ ($$a\ge0$$, $$b\ge0$$, $$c\ge0$$, $$d\ge0$$).

Пусть $$a \ge 0,\; b \ge 0,\; c \ge 0,\; d \ge 0.$$ Тогда

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(a+c)(b+d) \ge ab+2\sqrt{abcd}+cd.$$

Раскроем скобки в левой части:

$$ab+ad+cb+cd \ge ab+2\sqrt{abcd}+cd.$$

После сокращения получаем:

$$ad+cb \ge 2\sqrt{abcd}.$$

Но

$$ad+cb-2\sqrt{abcd}=(\sqrt{ad}-\sqrt{cb})^2 \ge 0,$$

значит, неравенство верно.

Ответ: $$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$