Упр.123 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Постройте графики функций: а) $$y=5^{\log_5(x-1)}$$; б) $$y=\left|\log_{\frac{1}{2}}x\right|-1$$; в) $$y=2^{|x|}$$; г) $$y=\log_2(x^2)$$.
а) $$y=5^{\log_5(x-1)}=x-1,$$ при $$x-1>0,$$ то есть при $$x>1.$$
Значит, это часть прямой $$y=x-1$$ при $$x>1$$. Точка $$\left(1,0\right)$$ не входит в график.
б) $$y=\left|\log_{\frac12}x\right|-1.$$
Так как модуль раскрывается по знаку логарифма, получаем:
$$y= \begin{cases} \log_{\frac12}x-1, & 0<x\le 1,\\ -\log_{\frac12}x-1, & x\ge 1. \end{cases}$$
График состоит из двух ветвей, которые соединяются в точке $$\left(1,-1\right)$$.
в) $$y=2^{|x|}.$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$y=2^x,$$ а при $$x<0$$ — $$y=2^{-x}.$$ Поэтому
$$y= \begin{cases} 2^x, & x\ge 0,\\ 2^{-x}, & x<0. \end{cases}$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$ и проходит через точку $$\left(0,1\right)$$.
г) $$y=\log_2 x^2.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ то область определения: $$x\ne 0.$$ Кроме того,
$$y=\log_2(x^2)=2\log_2|x|= \begin{cases} 2\log_2 x, & x>0,\\ 2\log_2(-x), & x<0. \end{cases}$$
График состоит из двух симметричных ветвей, имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$ и пересекает ось $$Ox$$ в точках $$(-1,0)$$ и $$\left(1,0\right)$$.
