Упр.123 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$5a^2-6ab+5b^2>0$$ при $$a^2+b^2\mathrel{?}0$$.

$$5a^2-6ab+5b^2=(a^2+2ab+b^2)+4(a^2-2ab+b^2)$$

$$=(a+b)^2+4(a-b)^2.$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$(a+b)^2 \ge 0,\qquad 4(a-b)^2 \ge 0,$$

следовательно,

$$5a^2-6ab+5b^2=(a+b)^2+4(a-b)^2 \ge 0.$$

Равенство возможно только при

$$a+b=0 \quad \text{и} \quad a-b=0,$$

откуда $$a=0,\ b=0.$$

Но по условию $$a^2+b^2\ne 0,$$ значит, одновременно $$a=0$$ и $$b=0$$ быть не может. Поэтому

$$5a^2-6ab+5b^2>0.$$

Ответ

$$5a^2-6ab+5b^2>0.$$