Упр.122 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенства $$(a+b)(a^3+b^3)\leq 2(a^4+b^4)$$.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3).$$

Раскроем скобки:

$$2a^4+2b^4-a^4-ab^3-a^3b-b^4=a^4-ab^3-a^3b+b^4.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^4-ab^3-a^3b+b^4=(a^4-a^3b)+(b^4-ab^3).$$

Вынесем общий множитель:

$$a^4-a^3b=a^3(a-b), \qquad b^4-ab^3=b^3(b-a)=-b^3(a-b).$$

Тогда

$$a^4-ab^3-a^3b+b^4=(a-b)(a^3-b^3).$$

Используем формулу разности кубов:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Следовательно,

$$2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2).$$

Так как $$\,(a-b)^2\ge 0\,$$ и $$\,a^2+ab+b^2>0\,$$ при любых действительных $$a$$ и $$b$$, то

$$2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3)\ge 0.$$

Значит,

$$(a+b)(a^3+b^3)\le 2(a^4+b^4).$$

Ответ

$$(a+b)(a^3+b^3)\le 2(a^4+b^4).$$