Упр.121 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Исследуйте функцию и постройте её график:
а) $$y=2\sqrt{x}-1$$;
б) $$y=4^{x-1}-2$$;
в) $$y=\frac{1}{2}\log_{2}(x+1)$$;
г) $$y=(x-2)^{\frac{1}{3}}+1$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=2\sqrt{x}-1.$$
Область определения: $$x\ge 0,$$ то есть $$D(y)=[0;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, \quad x>0.$$
Так как $$y'(x)>0$$ при $$x>0,$$ функция возрастает на всей области определения.
Нули функции:
$$2\sqrt{x}-1=0 \Rightarrow \sqrt{x}=\frac12 \Rightarrow x=\frac14.$$
Значение при $$x=0$$:
$$y(0)=2\sqrt{0}-1=-1.$$
Следовательно, $$E(y)=[-1;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. Для построения графика удобно отметить точки $$\left(0,-1\right)$$ и $$\left(\frac14,0\right)$$, после чего провести возрастающую корневую кривую.
б) Рассмотрим функцию $$y=4^{x-1}-2.$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=4^{x-1}\ln 4>0,\quad x\in \mathbb{R}.$$
Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.
Найдём горизонтальную асимптоту:
$$\lim_{x\to -\infty}\left(4^{x-1}-2\right)=0-2=-2.$$
Следовательно, $$y=-2$$ — горизонтальная асимптота.
Нуль функции:
$$4^{x-1}-2=0 \Rightarrow 4^{x-1}=2 \Rightarrow x-1=\frac12 \Rightarrow x=\frac32.$$
Значение при $$x=0$$:
$$y(0)=4^{-1}-2=\frac14-2=-\frac74.$$
Итак, $$E(y)=(-2;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. Для построения графика отметим точки $$\left(\frac32,0\right)$$ и $$\left(0,-\frac74\right)$$ и проведём возрастающую экспоненту с асимптотой $$y=-2.$$
в) Рассмотрим функцию $$y=\frac12\log_2(x+1).$$
Область определения: $$x+1>0,$$ значит $$D(y)=(-1;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{1}{2(x+1)\ln 2},\quad x>-1.$$
Так как $$y'(x)>0$$ при $$x>-1,$$ функция возрастает на области определения.
Нуль функции:
$$\frac12\log_2(x+1)=0 \Rightarrow \log_2(x+1)=0 \Rightarrow x+1=1 \Rightarrow x=0.$$
Значение при $$x=3$$:
$$y(3)=\frac12\log_2 4=\frac12\cdot 2=1.$$
Следовательно, $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. Для построения графика удобно отметить точки $$\left(0,0\right)$$ и $$\left(3,1\right)$$; график — возрастающая логарифмическая кривая с вертикальной асимптотой $$x=-1.$$
г) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt[3]{x-2}+1.$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac13(x-2)^{-\frac23}>0,\quad x\ne 2.$$
Значит, функция возрастает на всей области определения.
Нуль функции:
$$\sqrt[3]{x-2}+1=0 \Rightarrow \sqrt[3]{x-2}=-1 \Rightarrow x-2=-1 \Rightarrow x=1.$$
Значение при $$x=0$$:
$$y(0)=\sqrt[3]{-2}+1=1-\sqrt[3]{2}.$$
Так как кубический корень принимает любые значения, то $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. Для построения графика отметим точку $$\left(2,1\right)$$ и сдвинем график $$y=\sqrt[3]{x}$$ на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх.
Ответ
а) $$D(y)=[0;+\infty),\ E(y)=[-1;+\infty),$$ функция возрастает, нуль $$x=\frac14.$$
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-2;+\infty),$$ функция возрастает, нуль $$x=\frac32,$$ асимптота $$y=-2.$$
в) $$D(y)=(-1;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция возрастает, нуль $$x=0.$$
г) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция возрастает, нуль $$x=1.$$
