Упр.121 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}$$.

Докажем неравенство по индукции.

При $$n=2$$ имеем

$$\frac{1}{2^2}=\frac14<\frac12=\frac{2-1}{2}.$$

Предположим, что для некоторого $$n=k$$ верно

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{k^2}<\frac{k-1}{k}.$$

Докажем, что тогда

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}<\frac{k}{k+1}.$$

Действительно, из предположения индукции получаем

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}<\frac{k-1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}.$$

Остаётся показать, что

$$\frac{k-1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}<\frac{k}{k+1}.$$

Вычтем левую часть из правой:

$$\frac{k}{k+1}-\frac{k-1}{k}-\frac{1}{(k+1)^2} =\frac{k^2(k+1)-(k-1)(k+1)^2-k}{k(k+1)^2}.$$

Упростим числитель:

$$k^2(k+1)-(k-1)(k+1)^2-k = k^3+k^2-(k^3+k^2-k-1)-k =1.$$

Значит,

$$\frac{k}{k+1}-\frac{k-1}{k}-\frac{1}{(k+1)^2} =\frac{1}{k(k+1)^2}>0,$$

то есть

$$\frac{k-1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}<\frac{k}{k+1}.$$

Следовательно, неравенство верно и для $$n=k+1$$. По индукции оно справедливо для всех $$n\ge 2$$.

Ответ

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n},\qquad n\ge 2.$$