Упр.120 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенства:
   а) $$a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc$$;
   б) $$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$$ ($$a\geq 0$$, $$b\geq 0$$, $$c\geq 0$$);
   в) если $$a+b+c=1$$, то $$a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$$;
   г) $$a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$$.

а) $$a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge 0.$$

Это равносильно неравенству

$$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2\ge 0,$$

а оно верно при любых $$a$$, $$b$$, $$c$$.

б) $$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc,\qquad a\ge 0,\ b\ge 0,\ c\ge 0.$$

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$a+b\ge 2\sqrt{ab},\qquad b+c\ge 2\sqrt{bc},\qquad c+a\ge 2\sqrt{ca}.$$

Тогда

$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt{ca}=8abc.$$

в) Если $$a+b+c=1,$$ то

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=1.$$

Так как

$$ab+ac+bc\le \frac{a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2}{2}=a^2+b^2+c^2,$$

то

$$1=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)\le 3(a^2+b^2+c^2).$$

Следовательно,

$$a^2+b^2+c^2\ge \frac13.$$

г) $$a^4+b^4+c^4\ge abc(a+b+c).$$

Рассмотрим сумму:

$$\frac{2a^4}{2}+\frac{2b^4}{2}+\frac{2c^4}{2} =\frac{a^4+b^4}{2}+\frac{a^4+c^4}{2}+\frac{b^4+c^4}{2}.$$

По неравенству AM-GM:

$$\frac{a^4+b^4}{2}\ge a^2b^2,\qquad \frac{a^4+c^4}{2}\ge a^2c^2,\qquad \frac{b^4+c^4}{2}\ge b^2c^2.$$

Значит,

$$a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2.$$

Далее снова применим AM-GM:

$$a^2b^2\ge abc\cdot c,\qquad a^2c^2\ge abc\cdot b,\qquad b^2c^2\ge abc\cdot a.$$

Складывая, получаем

$$a^4+b^4+c^4\ge abc(a+b+c).$$

Ответ

Все неравенства доказаны.