Упр.12 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Какую производную имеет степенная функция $$y=x^{??}$$?
2. Постройте график функции и найдите её производную:
   а) $$y=x^7$$;
   б) $$y=x^{-4}$$;
   в) $$y=x^{-0,3}$$;
   г) $$y=x^{v2}$$.
3. Найдите приближённое значение:
   а) $$32,02^{\frac{1}{5}}$$;
   б) $$127,9^{\frac{1}{7}}$$;
   в) $$64,3^{\frac{1}{3}}$$;
   г) $$80,6^{\frac{1}{4}}$$.

1) Для степенной функции $$y=x^\alpha$$ производная равна

$$y’=\alpha x^{\alpha-1}.$$

Ход решения

2) Найдём производные данных функций:

1. $$y=x^7,\qquad y’=7x^6.$$
2. $$y=x^{-4},\qquad y’=-4x^{-5}.$$
3. $$y=x^{-0{,}3},\qquad y’=-0{,}3x^{-1{,}3}.$$
4. $$y=x^{\sqrt2},\qquad y’=\sqrt2\,x^{\sqrt2-1}.$$

3) Для приближённого вычисления используем формулу линейного приближения:

$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x.$$

1. $$f(x)=x^{1/5},\quad x_0=32,\quad \Delta x=0{,}02.$$

   $$f(32)=2,\qquad f'(x)=\frac15x^{-4/5},\qquad f'(32)=\frac{1}{5\cdot 16}.$$

   $$f(32{,}02)\approx 2+\frac{1}{5\cdot 16}\cdot 0{,}02=2{,}00025.$$

2. $$f(x)=x^{1/7},\quad x_0=128,\quad \Delta x=-0{,}1.$$

   $$f(128)=2,\qquad f'(x)=\frac17x^{-6/7},\qquad f'(128)=\frac{1}{7\cdot 64}.$$

   $$f(127{,}9)\approx 2+\frac{1}{7\cdot 64}\cdot(-0{,}1)\approx 1{,}9998.$$

3. $$f(x)=x^{1/3},\quad x_0=64,\quad \Delta x=0{,}3.$$

   $$f(64)=4,\qquad f'(x)=\frac13x^{-2/3},\qquad f'(64)=\frac{1}{3\cdot 16}.$$

   $$f(64{,}3)\approx 4+\frac{1}{3\cdot 16}\cdot 0{,}3=4{,}00625.$$

4. $$f(x)=x^{1/4},\quad x_0=81,\quad \Delta x=-0{,}4.$$

   $$f(81)=3,\qquad f'(x)=\frac14x^{-3/4},\qquad f'(81)=\frac{1}{4\cdot 27}.$$

   $$f(80{,}6)\approx 3+\frac{1}{4\cdot 27}\cdot(-0{,}4)\approx 2{,}9963.$$

Ответ

1) $$y’=\alpha x^{\alpha-1}.$$

2) $$y’=7x^6;\quad y’=-4x^{-5};\quad y’=-0{,}3x^{-1{,}3};\quad y’=\sqrt2\,x^{\sqrt2-1}.$$

3) $$32{,}02^{1/5}\approx 2{,}00025;\quad 127{,}9^{1/7}\approx 1{,}9998;\quad 64{,}3^{1/3}\approx 4{,}00625;\quad 80{,}6^{1/4}\approx 2{,}9963.$$