Упр.12 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Что такое график функции?
2. Постройте график функции: а) $$y=\frac{2}{x-1}$$; б) $$y=2-\cos(x)$$; в) $$y=v(x+2)$$; г) $$y=\sin(x)-1$$.
3. Найдите точки пересечения графика функции $$f$$ с осями координат: а) $$f(x)=x^3-4x$$; б) $$f(x)=\frac{1}{x}+1$$; в) $$f(x)=1-x^4$$; г) $$f(x)=\frac{1}{x-3}$$.

1) Графиком функции $$f$$ называют множество всех точек $$\left(x;y\right)$$ координатной плоскости, где $$y=f(x)$$, а $$x$$ принимает все значения из $$D(f)$$.

Ход решения

2) Построим графики функций.

1. $$y=\dfrac{2}{x-1}$$ — это график функции $$y=\dfrac{k}{x-a}$$ при $$k=2$$, $$a=1$$. Его асимптоты: $$x=1$$ и $$y=0$$.

2. $$y=2-\cos x$$ — график функции $$y=-\cos x$$, сдвинутый вверх на $$2$$. Значения функции лежат в промежутке $$1\le y\le 3$$.

3. $$y=\sqrt{x+2}$$ — график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый влево на $$2$$. Область определения: $$x\ge -2$$.

4. $$y=\sin x-1$$ — график функции $$y=\sin x$$, сдвинутый вниз на $$1$$. Значения функции лежат в промежутке $$-2\le y\le 0$$.

3) Найдём точки пересечения графиков с осями координат.

1. $$f(x)=x^3-4x$$

   Пересечение с осью $$Oy$$: при $$x=0$$ имеем $$f(0)=0$$, значит точка $$\left(0;0\right)$$.

   Пересечение с осью $$Ox$$: решаем уравнение

   $$x^3-4x=0 \\\\ x\left(x^2-4\right)=0 \\\\ x=0 \text{ или } x^2=4 \\\\ x=0,\; x=\pm 2$$

   Точки пересечения: $$\left(-2;0\right),\ \left(0;0\right),\ \left(2;0\right)$$.

2. $$f(x)=\dfrac{1}{x}+1$$

   С осью $$Oy$$ график не пересекается, так как при $$x=0$$ функция не определена.

   С осью $$Ox$$:

   $$\dfrac{1}{x}+1=0 \\\\ \dfrac{1}{x}=-1 \\\\ x=-1$$

   Точка пересечения: $$\left(-1;0\right)$$.

3. $$f(x)=1-x^4$$

   Пересечение с осью $$Oy$$: $$f(0)=1$$, значит точка $$\left(0;1\right)$$.

   С осью $$Ox$$:

   $$1-x^4=0 \\\\ x^4=1 \\\\ x=\pm 1$$

   Точки пересечения: $$\left(-1;0\right),\ \left(1;0\right),\ \left(0;1\right)$$.

4. $$f(x)=\dfrac{1}{x-3}$$

   С осью $$Oy$$: при $$x=0$$ получаем $$f(0)=-\dfrac{1}{3}$$, значит точка $$\left(0;-\dfrac{1}{3}\right)$$.

   С осью $$Ox$$ график не пересекается, так как уравнение

   $$\dfrac{1}{x-3}=0$$

   не имеет решений.

Ответ

1) График функции — множество точек $$\left(x;y\right)$$, для которых $$y=f(x)$$.

2) Графики построены по указанным преобразованиям.

3) а) $$\left(-2;0\right),\ \left(0;0\right),\ \left(2;0\right)$$; б) $$\left(-1;0\right)$$; в) $$\left(-1;0\right),\ \left(1;0\right),\ \left(0;1\right)$$; г) $$\left(0;-\dfrac{1}{3}\right)$$.