Упр.12 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите равенства методом математической индукции ($$n\in\mathbb{N}$$):
   а) $$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$;
   б) $$1^2+3^2+5^2+\dots+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$$;
   в) $$1^3+3^3+5^3+\dots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)$$;
   г) $$1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1$$.

Докажем равенства методом математической индукции.

а)

Пусть

$$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

База индукции: при $$n=1$$ имеем

$$1^2=1=\frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}.$$

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$1^2+2^2+\dots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$$

Тогда для $$n=k+1$$

$$1^2+2^2+\dots+k^2+(k+1)^2 =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 =\frac{(k+1)\bigl(k(2k+1)+6(k+1)\bigr)}{6}$$

$$=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6} =\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}.$$

Это и есть

$$\frac{(k+1)\bigl((k+1)+1\bigr)\bigl(2(k+1)+1\bigr)}{6}.$$

Следовательно, равенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$.

б)

Пусть

$$1^2+3^2+5^2+\dots+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.$$

База индукции: при $$n=1$$

$$1^2=1=\frac{1\cdot(2\cdot1-1)\cdot(2\cdot1+1)}{3}.$$

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$1^2+3^2+\dots+(2k-1)^2=\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}.$$

Тогда для $$n=k+1$$

$$1^2+3^2+\dots+(2k-1)^2+(2k+1)^2 =\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2k+1)^2.$$

Преобразуем:

$$\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2k+1)^2 =\frac{(2k+1)\bigl(k(2k-1)+3(2k+1)\bigr)}{3}$$

$$=\frac{(2k+1)(2k^2+5k+3)}{3} =\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}.$$

Это равно

$$\frac{(k+1)\bigl(2(k+1)-1\bigr)\bigl(2(k+1)+1\bigr)}{3}.$$

Следовательно, равенство доказано.

в)

Пусть

$$1^3+3^3+5^3+\dots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1).$$

База индукции: при $$n=1$$

$$1^3=1=1^2(2\cdot1^2-1).$$

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$1^3+3^3+\dots+(2k-1)^3=k^2(2k^2-1).$$

Тогда для $$n=k+1$$

$$1^3+3^3+\dots+(2k-1)^3+(2k+1)^3 =k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3.$$

Преобразуем правую часть:

$$k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3 =2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1$$

$$=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1 =(k+1)^2(2k^2+4k+1).$$

Но

$$(k+1)^2(2k^2+4k+1)=(k+1)^2\bigl(2(k+1)^2-1\bigr).$$

Значит,

$$1^3+3^3+\dots+(2k+1)^3=(k+1)^2\bigl(2(k+1)^2-1\bigr),$$

что и требовалось доказать.

г)

Пусть

$$1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1.$$

База индукции: при $$n=1$$

$$1\cdot1!=1=(1+1)!-1.$$

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$1\cdot1!+2\cdot2!+\dots+k\cdot k!=(k+1)!-1.$$

Тогда для $$n=k+1$$

$$1\cdot1!+2\cdot2!+\dots+k\cdot k!+(k+1)(k+1)! =(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!.$$

Вынесем $$\,(k+1)!\,$$:

$$(k+1)!-1+(k+1)(k+1)! =(k+1)!\bigl(1+k+1\bigr)-1 =(k+2)(k+1)!-1.$$

Так как $$(k+2)(k+1)!=(k+2)!$$, получаем

$$1\cdot1!+2\cdot2!+\dots+(k+1)(k+1)!=(k+2)!-1.$$

Следовательно, равенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$.

Ответ

Все четыре равенства доказаны методом математической индукции.