Упр.118 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите неравенства: а) $$|x^2-2x|
а) $$|x^2-2x|<x$$
Так как левая часть неотрицательна, то правая часть тоже должна быть положительной: $$x>0.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x^2-2x\ge 0.$$ Тогда $$|x^2-2x|=x^2-2x,$$ и получаем
$$x^2-2x<x \;\;\Longrightarrow\;\; x^2-3x<0 \;\;\Longrightarrow\;\; x(x-3)<0,$$
откуда $$0<x<3.$$
При этом условие $$x^2-2x\ge 0$$ даёт $$x(x-2)\ge 0,$$ то есть $$x\le 0$$ или $$x\ge 2.$$
Пересечение с $$0<x<3$$ даёт $$2\le x<3.$$
2) $$x^2-2x<0.$$ Тогда $$|x^2-2x|=-(x^2-2x),$$ и
$$-x^2+2x<x \;\;\Longrightarrow\;\; -x^2+x<0 \;\;\Longrightarrow\;\; x(x-1)>0,$$
откуда $$x<0$$ или $$x>1.$$
С учётом условия $$x^2-2x<0 \iff 0<x<2$$ получаем $$1<x<2.$$
Объединяя результаты, имеем:
$$x\in(1;3).$$
б) $$3x^2-|x-3|>9x-2$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x\ge 3.$$ Тогда $$|x-3|=x-3,$$ и
$$3x^2-(x-3)>9x-2$$
$$3x^2-10x+5>0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=100-60=40,$$
$$x=\frac{10\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{5\pm\sqrt{10}}{3}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$3x^2-10x+5>0 \;\;\Longrightarrow\;\; x<\frac{5-\sqrt{10}}{3}\ \text{или}\ x>\frac{5+\sqrt{10}}{3}.$$
С учётом условия $$x\ge 3$$ остаётся
$$x>\frac{5+\sqrt{10}}{3}.$$
2) $$x<3.$$ Тогда $$|x-3|=3-x,$$ и
$$3x^2-(3-x)>9x-2$$
$$3x^2-8x-1>0.$$
Найдём корни:
$$D=64+12=76,$$
$$x=\frac{8\pm\sqrt{76}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{19}}{3}.$$
Следовательно,
$$3x^2-8x-1>0 \;\;\Longrightarrow\;\; x<\frac{4-\sqrt{19}}{3}\ \text{или}\ x>\frac{4+\sqrt{19}}{3}.$$
С учётом условия $$x<3$$ получаем
$$x<\frac{4-\sqrt{19}}{3}\ \text{или}\ \frac{4+\sqrt{19}}{3}<x<3.$$
Объединяя оба случая, имеем:
$$x\in\left(-\infty;\frac{4-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{4+\sqrt{19}}{3};+\infty\right).$$
Ответ
а) $$x\in(1;3).$$
б) $$x\in\left(-\infty;\frac{4-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{4+\sqrt{19}}{3};+\infty\right).$$
