Упр.117 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите промежутки знакопостоянства каждой из функций: а) $$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x-4$$; б) $$y=\log_4(x+3)$$; в) $$y=2-3^x$$; г) $$y=\sqrt{x}-4$$.

а) $$y=\left(\frac12\right)^x-4$$

Найдём, где функция положительна:

$$\left(\frac12\right)^x-4>0$$

$$\left(\frac12\right)^x>4=2^2$$

$$2^{-x}>2^2$$

$$-x>2,\quad x<-2$$

Значит, $$y>0$$ при $$x<-2$$, а $$y<0$$ при $$x>-2$$.

б) $$y=\log_4(x+3)$$

Область определения: $$x+3>0,\quad x>-3$$.

Найдём, где функция положительна:

$$\log_4(x+3)>0$$

Так как основание $$4>1$$, то

$$x+3>1,\quad x>-2$$

Следовательно, $$y>0$$ при $$x>-2$$, а $$y<0$$ при $$-3<x<-2$$.

в) $$y=2-3^x$$

Найдём, где функция положительна:

$$2-3^x>0$$

$$3^x<2$$

Так как основание $$3>1$$, получаем

$$x<\log_3 2$$

Значит, $$y>0$$ при $$x<\log_3 2$$, а $$y<0$$ при $$x>\log_3 2$$.

г) $$y=\sqrt{x}-4$$

Область определения: $$x\ge 0$$.

Найдём, где функция положительна:

$$\sqrt{x}-4>0$$

$$\sqrt{x}>4$$

$$x>16$$

Следовательно, $$y>0$$ при $$x>16$$, а $$y<0$$ при $$0\le x<16$$.

Ответ

а) $$y>0$$ при $$x<-2$$, $$y<0$$ при $$x>-2$$;

б) $$y>0$$ при $$x>-2$$, $$y<0$$ при $$-3<x<-2$$;

в) $$y>0$$ при $$x<\log_3 2$$, $$y<0$$ при $$x>\log_3 2$$;

г) $$y>0$$ при $$x>16$$, $$y<0$$ при $$0\le x<16$$.