Упр.117 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$x^{18}-x^{13}+x^{10}-x^7+x^2-x+1>0$$;
   б) $$x^{12}-x^9+x^4-x+1<0$$.

а) Рассмотрим выражение

$$x^{18}-x^{13}+x^{10}-x^7+x^2-x+1.$$

Разобьём его на группы:

$$\left(x^{18}+x^{10}+x^2+1\right)-\left(x^{13}+x^7+x\right).$$

Проверим знак при разных значениях $$x$$:

если $$x<0,$$ то $$x^{18}+x^{10}+x^2+1>0,$$ а $$x^{13}+x^7+x<0,$$ значит всё выражение положительно;

если $$0<x<1,$$ то $$x^{18}<x^{13},\quad x^{10}>x^7,\quad x^2>x,\quad 1>x,$$ поэтому сумма остаётся положительной;

если $$x>1,$$ то $$x^{18}>x^{13},\quad x^{10}>x^7,\quad x^2>x,$$ следовательно выражение также положительно.

Таким образом, неравенство выполняется при всех действительных $$x$$.

$$x\in(-\infty;+\infty).$$

б) Рассмотрим выражение

$$x^{12}-x^9+x^4-x+1.$$

Запишем его в виде

$$\left(x^{12}+x^4+1\right)-\left(x^9+x\right).$$

Если $$x<0,$$ то $$x^{12}+x^4+1>0,$$ а $$x^9+x<0,$$ значит всё выражение положительно.

Если $$0<x<1,$$ то $$x^{12}<x^9,\quad x^4>x,\quad 1>0,$$ и снова выражение положительно.

Если $$x>1,$$ то $$x^{12}>x^9,\quad x^4>x,$$ поэтому выражение тоже положительно.

Следовательно, левая часть не может быть меньше нуля ни при каком действительном $$x$$.

$$\varnothing.$$

Ответ: а) $$(-\infty;+\infty)$$; б) $$\varnothing$$.