Упр.116 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите область значений каждой из функций:

1. $$y=2^{\cos x}$$;
2. $$y=2-x^{\frac14}$$;
3. $$y=1+\left|\log_2 x\right|$$;
4. $$y=1+\left|x^{\frac13}\right|$$.

Найдём область значений каждой функции.

1. $$y=2^{\cos x}$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$2^{-1}\le 2^{\cos x}\le 2^1,$$

   то есть

   $$0{,}5\le y\le 2.$$

   Ответ: $$[0{,}5;2].$$

2. $$y=2-\sqrt[4]{x}$$

   При $$x\ge 0$$ имеем $$\sqrt[4]{x}\ge 0.$$ Тогда

   $$y\le 2,$$

   а при $$x\to +\infty$$ значение $$\sqrt[4]{x}\to +\infty,$$ значит, $$y\to -\infty.$$ Следовательно,

   $$E(y)=(-\infty;2].$$

   Ответ: $$(-\infty;2].$$

3. $$y=1+\left|\log_2 x\right|$$

   Так как $$\left|\log_2 x\right|\ge 0,$$ то

   $$y\ge 1.$$

   Минимум достигается при $$\log_2 x=0,$$ то есть при $$x=1.$$ Поэтому

   $$E(y)=[1;+\infty).$$

   Ответ: $$[1;+\infty).$$

4. $$y=1+\left|x^{1/3}\right|$$

   Так как $$\left|x^{1/3}\right|\ge 0,$$ то

   $$y\ge 1.$$

   Равенство достигается при $$x=0.$$ Следовательно,

   $$E(y)=[1;+\infty).$$

   Ответ: $$[1;+\infty).$$