Упр.116 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите неравенства:
- а) $$x^4+3x^3+2x^2+3x+1>0$$; б) $$(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)\mathbin{?}17$$.
а) Преобразуем выражение:
$$x^4+3x^3+2x^2+3x+1=x^2\left(x^2+3x+2\right)+3x+1.$$
Удобнее разделить на $$x^2$$ и ввести замену:
$$x^2+3x+2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}>0,\qquad x\ne 0.$$
Тогда
$$\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)+3\left(x+\frac{1}{x}\right)>0,$$
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+3\left(x+\frac{1}{x}\right)>0.$$
Положим $$y=x+\frac{1}{x}$$. Получаем:
$$y^2+3y>0,$$
$$y(y+3)>0.$$
Отсюда
$$y<-3 \quad \text{или} \quad y>0.$$
1) Если $$x+\frac{1}{x}<-3,$$ то
$$x^2+3x+1<0.$$
Корни уравнения $$x^2+3x+1=0$$:
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}.$$
Значит,
$$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{-3+\sqrt{5}}{2}.$$
С учётом условия $$x+\frac{1}{x}<-3$$ получаем
$$x\in\left(-\infty;\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\right).$$
2) Если $$x+\frac{1}{x}>0,$$ то
$$\frac{x^2+1}{x}>0.$$
Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x,$$ то отсюда следует
$$x>0.$$
Итак,
$$x\in\left(-\infty;\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\right)\cup(0;+\infty).$$
Ответ
$$\left(-\infty;\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\right)\cup(0;+\infty)$$
б) Перепишем выражение:
$$(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)\ge 17.$$
Сгруппируем множители:
$$(x^2-7x+6)(x^2-7x+12)\ge 17.$$
Положим
$$y=x^2-7x+9.$$
Тогда
$$(y-3)(y+3)\ge 17,$$
$$y^2-9\ge 17,$$
$$y^2\ge 26.$$
Следовательно,
$$y\le -\sqrt{26}\quad \text{или}\quad y\ge \sqrt{26}.$$
1) Если $$x^2-7x+9\le -\sqrt{26},$$ то
$$x^2-7x+9+\sqrt{26}\le 0.$$
Дискриминант:
$$D=49-4(9+\sqrt{26})=13-4\sqrt{26}<0.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, решений нет.
2) Если $$x^2-7x+9\ge \sqrt{26},$$ то
$$x^2-7x+9-\sqrt{26}\ge 0.$$
Найдём корни уравнения
$$x^2-7x+9-\sqrt{26}=0.$$
Тогда
$$D=49-4(9-\sqrt{26})=13+4\sqrt{26},$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{13+4\sqrt{26}}}{2}.$$
Следовательно,
$$x\in\left(-\infty;\frac{7-\sqrt{13+4\sqrt{26}}}{2}\right]\cup\left[\frac{7+\sqrt{13+4\sqrt{26}}}{2};+\infty\right).$$
Ответ
$$\left(-\infty;\frac{7-\sqrt{13+4\sqrt{26}}}{2}\right]\cup\left[\frac{7+\sqrt{13+4\sqrt{26}}}{2};+\infty\right)$$
