Упр.116 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим каждое уравнение на указанном промежутке.

1. $$x^7=3,\quad x\in(-\infty;\infty).$$

   Функция $$y=x^7$$ возрастает на всей числовой оси, значит горизонтальная прямая $$y=3$$ пересекает её график ровно в одной точке.

   Следовательно, уравнение имеет 1 корень.

2. $$\frac{3}{x-1}=-5,\quad x\in(-\infty;1).$$

   На промежутке $$(-\infty;1)$$ функция $$y=\frac{3}{x-1}$$ убывает, поэтому уравнение с правой частью $$-5$$ имеет не более одного решения.

   Проверим наличие корня:

   $$\frac{3}{x-1}=-5$$
   $$3=-5(x-1)$$
   $$3=-5x+5$$
   $$5x=2$$
   $$x=\frac{2}{5}.$$

   Но $$\frac{2}{5}\in(-\infty;1)$$, значит корень подходит.

   Следовательно, уравнение имеет 1 корень.

3. $$x^6=4,\quad x\in(-\infty;0].$$

   На промежутке $$(-\infty;0]$$ функция $$y=x^6$$ убывает, поэтому уравнение имеет не более одного решения.

   Решим его:

   $$x^6=4$$
   $$x=\pm\sqrt[6]{4}.$$

   С учётом условия $$x\le 0$$ подходит только

   $$x=-\sqrt[6]{4}.$$

   Следовательно, уравнение имеет 1 корень.

4. $$\frac{5}{x+2}=2,\quad x\in(-2;\infty).$$

   На промежутке $$(-2;\infty)$$ функция $$y=\frac{5}{x+2}$$ убывает, значит уравнение имеет не более одного решения.

   Найдём корень:

   $$\frac{5}{x+2}=2$$
   $$5=2(x+2)$$
   $$5=2x+4$$
   $$2x=1$$
   $$x=\frac{1}{2}.$$

   Так как $$\frac{1}{2}\in(-2;\infty)$$, корень подходит.

   Следовательно, уравнение имеет 1 корень.

Ответ: а) 1; б) 1; в) 1; г) 1.