Упр.115 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$(x^2+3x+1)(x^2+3x-3)\mathrel{?}5;$$
   б) $$\frac{3(x-1)(x+2)^2}{(x^2+1)(x+1)^2(x-2)}\mathrel{?}0.$$

а) Обозначим $$y=x^2+3x-1.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$(y+2)(y-2)\ge 5,$$

то есть

$$y^2-4\ge 5,\qquad y^2-9\ge 0,\qquad (y+3)(y-3)\ge 0.$$

Отсюда

$$y\le -3 \quad \text{или} \quad y\ge 3.$$

1) Если $$x^2+3x-1\le -3,$$ то

$$x^2+3x+2\le 0,$$

$$(x+2)(x+1)\le 0.$$

Следовательно,

$$-2\le x\le -1.$$

2) Если $$x^2+3x-1\ge 3,$$ то

$$x^2+3x-4\ge 0,$$

$$(x+4)(x-1)\ge 0.$$

Следовательно,

$$x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Объединяя полученные промежутки, получаем

$$(-\infty;-4]\cup[-2;-1]\cup[1;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{3(x-1)(x+2)^2}{(x^2+1)(x+1)^2(x-2)}\ge 0.$$

Так как $$3>0,$$ $$x^2+1>0$$ при всех $$x,$$ а $$(x+2)^2\ge 0,$$ знак дроби определяется выражением

$$\frac{x-1}{x-2},$$

при этом нужно учесть, что $$x\ne -1$$ и $$x\ne 2.$$

Решаем неравенство

$$\frac{x-1}{x-2}\ge 0.$$

Оно выполняется при

$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x>2.$$

С учётом ограничений $$x\ne -1$$ и $$x\ne 2$$ получаем

$$(-\infty;-1)\cup(-1;1]\cup(2;+\infty).$$

Ответ: а) $$(-\infty;-4]\cup[-2;-1]\cup[1;+\infty);$$ б) $$(-\infty;-1)\cup(-1;1]\cup(2;+\infty).$$