Упр.114 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения каждой из функций:
   а) $$y=\frac{\sqrt{x^2-5x+6}}{\lg (x+10)^2}$$;
   б) $$y=\sqrt{\log_5(\cos x)}$$;
   в) $$y=\frac{\ln(3x-2)}{x^2-x-2}$$;
   г) $$y=\left(\lg(3x^2-2x)\right)^{\frac14}$$.

а) Для функции $$y=\dfrac{\sqrt{x^2-5x+6}}{\lg^2(x+10)}$$ нужно, чтобы:

$$x^2-5x+6\ge 0,$$

$$\lg(x+10)\ne 0,$$

$$x+10>0.$$

Решим неравенство:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\ge 0,$$

откуда

$$x\le 2 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

Кроме того, $$\lg(x+10)\ne 0 \Rightarrow x+10\ne 1 \Rightarrow x\ne -9,$$ а также $$x>-10.$$

Итак,

$$D=(-10;-9)\cup(-9;2]\cup[3;+\infty).$$

б) Для функции $$y=\sqrt{\log_5(\cos x)}$$ необходимо:

$$\log_5(\cos x)\ge 0,$$

$$\cos x>0.$$

Так как основание $$5>1,$$ то из неравенства $$\log_5(\cos x)\ge 0$$ получаем

$$\cos x\ge 1.$$

Но $$\cos x\le 1,$$ значит возможно только

$$\cos x=1.$$

Следовательно,

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$D=\{2\pi n\mid n\in\mathbb Z\}.$$

в) Для функции $$y=\dfrac{\ln(3x-2)}{x^2-x-2}$$ нужно:

$$3x-2>0,$$

$$x^2-x-2\ne 0.$$

Из первого неравенства:

$$x>\dfrac23.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$

Тогда

$$x\ne 2,\quad x\ne -1.$$

С учётом условия $$x>\dfrac23$$ получаем

$$D=\left(\dfrac23;2\right)\cup(2;+\infty).$$

г) Для функции $$y=\sqrt[4]{\lg(3x^2-2x)}$$ необходимо:

$$\lg(3x^2-2x)\ge 0,$$

$$3x^2-2x>0.$$

Так как основание логарифма $$10>1,$$ то

$$3x^2-2x\ge 1.$$

Получаем неравенство

$$3x^2-2x-1\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$

$$x_{1,2}=\dfrac{2\pm 4}{6},\quad x_1=-\dfrac13,\quad x_2=1.$$

Тогда

$$3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)\ge 0,$$

откуда

$$x\le -\dfrac13 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Следовательно,

$$D=(-\infty;-\dfrac13]\cup[1;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-10;-9)\cup(-9;2]\cup[3;+\infty)$$;

б) $$\{2\pi n\mid n\in\mathbb Z\}$$;

в) $$\left(\dfrac23;2\right)\cup(2;+\infty)$$;

г) $$(-\infty;-\dfrac13]\cup[1;+\infty).$$