Упр.114 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнения:

Подробный ответ

а) $$|x-1|+2|-1|+1|=2$$

Так как $$|-1|=1$$, получаем:

$$|x-1|+2\cdot 1+1=2$$

$$|x-1|+3=2$$

$$|x-1|=-1$$

Абсолютная величина не может быть отрицательной, значит, решений нет.

б) $$2|x+6|-|x|-|x-6|=18$$

Рассмотрим промежутки:

Если $$x\le -6$$, то
$$2(-x-6)-(-x)-(-x+6)=18$$
$$-2x-12+x+x-6=18$$
$$-18=18$$ — неверно.
Если $$-6\le x\le 0$$, то
$$2(x+6)-(-x)-(-x+6)=18$$
$$2x+12+x+x-6=18$$
$$4x=12,\quad x=3$$
Но $$3\notin[-6;0]$$, значит, не подходит.
Если $$0\le x\le 6$$, то
$$2(x+6)-x-(6-x)=18$$
$$2x+12-x-x+6=18$$
$$18=18$$
Следовательно, подходят все $$x\in[0;6]$$.
Если $$x\ge 6$$, то
$$2(x+6)-x-(x-6)=18$$
$$2x+12-x-x+6=18$$
$$18=18$$
Следовательно, подходят все $$x\ge 6$$.

Итак, $$x\in[0;+\infty)$$.

в) $$|2x-3|=|x^2-2x-6|$$

Рассмотрим два случая:

$$2x-3=x^2-2x-6$$

$$x^2-4x-3=0$$

$$D=16+12=28$$

$$x=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2}=2\pm\sqrt7$$

Или

$$2x-3=-(x^2-2x-6)$$

$$2x-3=-x^2+2x+6$$

$$x^2+9=0$$

Действительных корней нет.

Кроме того, при смене знака модулей получаем также корни $$x=-3$$ и $$x=3$$ из равенства $$x^2-2x-6=3-2x$$.

Итак, решения:

$$x=2\pm\sqrt7,\;-3,\;3$$

г) $$|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2$$

Рассмотрим промежутки:

Если $$x\le -1$$, то
$$-(x+1)-(-x)+3(1-x)-2(2-x)=x+2$$
$$-x-1+x+3-3x-4+2x=x+2$$
$$-x-2=x+2$$
$$2x=-4,\quad x=-2$$
Если $$-1\le x\le 0$$, то
$$x+1-x+3(1-x)-2(2-x)=x+2$$
$$x+1-x+3-3x-4+2x=x+2$$
$$0=x+2$$
$$x=-2$$, но это не принадлежит промежутку.
Если $$0\le x\le 1$$, то
$$x+1-x+3(1-x)-2(2-x)=x+2$$
$$1+3-3x-4+2x=x+2$$
$$-x=x+2$$
$$-2x=2,\quad x=-1$$, не подходит.
Если $$1\le x\le 2$$, то
$$x+1-x+3(x-1)-2(2-x)=x+2$$
$$1+3x-3-4+2x=x+2$$
$$5x-6=x+2$$
$$4x=8,\quad x=2$$
Если $$x\ge 2$$, то
$$x+1-x+3(x-1)-2(x-2)=x+2$$
$$1+3x-3-2x+4=x+2$$
$$x+2=x+2$$
Следовательно, подходит любое $$x\ge 2$$.