Упр.113 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Найдите область определения каждой из функций:
- а) $$y=\sqrt{x^2\cdot 3^x-3^{x+1}}$$; б) $$y=(2^{\sin x}-1)^{\frac{1}{8}}$$; в) $$y=\log_{3}(4-3x+x^2)$$; г) $$y=\log_{2}(\sin x)$$.
а) Для корня нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$$x^2\cdot 3^x-3^{x+1}\ge 0$$
$$3^x(x^2-3)\ge 0$$
Так как $$3^x>0$$ при любых $$x$$, получаем:
$$x^2-3\ge 0$$
$$x^2\ge 3$$
$$|x|\ge \sqrt{3}$$
Следовательно,
$$D(x)=(-\infty;-\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3};+\infty).$$
б) Для восьмого корня требуется:
$$2^{\sin x}-1\ge 0$$
$$2^{\sin x}\ge 1$$
Так как основание $$2>1$$, то это равносильно неравенству
$$\sin x\ge 0.$$
Значит,
$$D(x)=[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\in \mathbb{Z}.$$
в) Для логарифма аргумент должен быть положительным:
$$4-3x+x^2>0$$
$$x^2-3x+4>0$$
Найдём дискриминант:
$$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0.$$
Так как старший коэффициент положителен, квадратный трёхчлен всегда положителен. Поэтому
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
г) Для логарифма нужно:
$$\sin x>0.$$
Это выполняется при
$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Следовательно,
$$D(x)=(2\pi n;\,\pi+2\pi n),\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Ответ
а) $$(-\infty;-\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3};+\infty)$$; б) $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\ n\in\mathbb{Z}$$; в) $$(-\infty;+\infty)$$; г) $$(2\pi n;\,\pi+2\pi n),\ n\in\mathbb{Z}.$$
