Упр.113 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$x^2+|x|-2=0$$; б) $$x^2-2x-3=|3x-3|$$.

а) Рассмотрим два случая.

Если $$x \ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и уравнение принимает вид

$$x^2+x-2=0.$$

Тогда

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}.$$

Получаем $$x_1=-2,$$ $$x_2=1.$$ С учётом условия $$x \ge 0$$ подходит только $$x=1.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и уравнение имеет вид

$$x^2-x-2=0.$$

Тогда

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$

Получаем $$x_1=-1,$$ $$x_2=2.$$ С учётом условия $$x<0$$ подходит только $$x=-1.$$

Итак, $$x=-1,\;1.$$

б) Рассмотрим два случая.

Если $$x \ge 1,$$ то $$|3x-3|=3x-3,$$ и уравнение принимает вид

$$x^2-2x-3=3x-3.$$

Тогда

$$x^2-5x=0,$$

$$x(x-5)=0.$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=5.$$ С учётом условия $$x \ge 1$$ подходит только $$x=5.$$

Если $$x<1,$$ то $$|3x-3|=3-3x,$$ и уравнение имеет вид

$$x^2-2x-3=3-3x.$$

Тогда

$$x^2+x-6=0,$$

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}.$$

Получаем $$x_1=-3,$$ $$x_2=2.$$ С учётом условия $$x<1$$ подходит только $$x=-3.$$

Итак, $$x=-3,\;5.$$

Ответ

а) $$-1;\;1.$$
б) $$-3;\;5.$$