Упр.113 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=\sin\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right).$$

Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$

Так как $$-1\le \sin\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

$$E(f)=[-1;1].$$

Нули функции находим из уравнения

$$\sin\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)=0,$$

откуда

$$2x-\frac{2\pi}{3}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Точка пересечения с осью ординат:

$$f(0)=\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Функция возрастает, когда аргумент синуса возрастает от $$-\frac{\pi}{2}$$ до $$\frac{\pi}{2}$$:

$$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x\le \frac{7\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Функция убывает, когда

$$\frac{7\pi}{12}+\pi n\le x\le \frac{13\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Максимумы достигаются при

$$x_{\max}=\frac{7\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

минимумы — при

$$x_{\min}=\frac{\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$f(x)=\ctg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right).$$

Область определения: аргумент котангенса не должен равняться $$\pi n$$:

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x\ne -\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$D(f)=\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Область значений:

$$E(f)=\mathbb R.$$

Нули функции:

$$\ctg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0,$$

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Точка пересечения с осью ординат:

$$f(0)=\ctg\frac{\pi}{4}=1.$$

Функция убывает на каждом промежутке области определения, поэтому промежутков возрастания, максимумов и минимумов нет.

в) $$f(x)=4\cos\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right).$$

Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$

Так как $$-1\le \cos\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

$$-4\le f(x)\le 4,$$

значит,

$$E(f)=[-4;4].$$

Нули функции:

$$4\cos\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=0,$$

$$\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Точка пересечения с осью ординат:

$$f(0)=4\cos\frac{\pi}{3}=2.$$

Функция возрастает, когда

$$-\pi+2\pi n\le \frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\le 2\pi n,$$

откуда

$$-4\pi+6\pi n\le x\le -\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Функция убывает, когда

$$2\pi n\le \frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\le \pi+2\pi n,$$

то есть

$$-\pi+6\pi n\le x\le 2\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Максимумы:

$$x_{\max}=-\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Минимумы:

$$x_{\min}=2\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$f(x)=\tg\left(\frac{3\pi}{4}-3x\right).$$

Область определения: аргумент тангенса не должен равняться $$\frac{\pi}{2}+\pi n$$:

$$\frac{3\pi}{4}-3x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x\ne \frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$D(f)=\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3}n;\,\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{3}n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Область значений:

$$E(f)=\mathbb R.$$

Нули функции:

$$\tg\left(\frac{3\pi}{4}-3x\right)=0,$$

$$\frac{3\pi}{4}-3x=\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Точка пересечения с осью ординат:

$$f(0)=\tg\frac{3\pi}{4}=-1.$$

Функция убывает на каждом промежутке области определения, поэтому промежутков возрастания, максимумов и минимумов нет.

Ответ

а) $$D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=[-1;1],\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$D(f)=\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\quad E(f)=\mathbb R,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=[-4;4],\quad x=\frac{\pi}{2}+3\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$D(f)=\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3}n;\,\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{3}n\right),\quad E(f)=\mathbb R,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}n,\ n\in\mathbb Z.$$