Упр.112 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения каждой из функций: а) $$y=\sqrt{16x-x^3}$$; б) $$y=\frac{1}{(x^3+8)^{1/4}}$$; в) $$y=\left(5-x-\frac{4}{x}\right)^{1/6}$$; г) $$y=\frac{1}{\sqrt{x^2+x-20}}$$.

а) Для функции $$y=\sqrt{16x-x^3}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$16x-x^3\ge 0$$

$$x(16-x^2)\ge 0$$

$$x(4-x)(4+x)\ge 0$$

Отсюда

$$D(x)=(-\infty;-4]\cup[0;4].$$

б) Для функции $$y=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3+8}}$$ знаменатель должен быть определён и не равен нулю, значит

$$x^3+8>0$$

$$x^3>-8$$

$$x>-2.$$

Следовательно,

$$D(x)=(-2;+\infty).$$

в) Для функции $$y=\sqrt[6]{5-x-\frac{4}{x}}$$ нужно, чтобы

$$5-x-\frac{4}{x}\ge 0,\qquad x\ne 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{5x-x^2-4}{x}\ge 0$$

$$\frac{-(x^2-5x+4)}{x}\ge 0$$

$$\frac{(x-1)(x-4)}{x}\le 0.$$

Решая неравенство, получаем

$$D(x)=(-\infty;0)\cup[1;4].$$

г) Для функции $$y=\frac{1}{\sqrt{x^2+x-20}}$$ подкоренное выражение должно быть положительным:

$$x^2+x-20>0.$$

Разложим на множители:

$$(x+5)(x-4)>0.$$

Отсюда

$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>4.$$

Значит,

$$D(x)=(-\infty;-5)\cup(4;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-4]\cup[0;4]$$; б) $$(-2;+\infty)$$; в) $$(-\infty;0)\cup[1;4]$$; г) $$(-\infty;-5)\cup(4;+\infty)$$.