Упр.112 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$x^2+\frac{9x^2}{(3+x)^2}=7$$; б) $$x^2+\frac{x^2}{(1+x)^2}=1$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$x^2+\frac{9x^2}{(x+3)^2}=7$$

Заметим, что

$$x^2-\frac{6x^2}{x+3}+\frac{9x^2}{(x+3)^2}=7,$$

то есть

$$\left(x-\frac{3x}{x+3}\right)^2+\frac{6x^2}{x+3}=7.$$

Так как

$$x-\frac{3x}{x+3}=\frac{x^2}{x+3},$$

получаем

$$\left(\frac{x^2}{x+3}\right)^2+\frac{6x^2}{x+3}=7.$$

Пусть

$$y=\frac{x^2}{x+3}.$$

Тогда

$$y^2+6y=7,$$

$$y^2+6y-7=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=6^2+4\cdot 7=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2}.$$

Отсюда

$$y_1=-7,\qquad y_2=1.$$

1) Если $$\frac{x^2}{x+3}=-7,$$ то

$$x^2+7x+21=0,$$

$$D=7^2-4\cdot 21=49-84=-35<0,$$

действительных корней нет.

2) Если $$\frac{x^2}{x+3}=1,$$ то

$$x^2=x+3,$$

$$x^2-x-3=0.$$

Тогда

$$D=1+12=13,$$

$$x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}.$$

б) Аналогично преобразуем:

$$x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=1.$$

Получаем

$$\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}=1,$$

а значит

$$\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}=1.$$

Пусть

$$y=\frac{x^2}{x+1}.$$

Тогда

$$y^2+2y=1,$$

$$y^2+2y-1=0.$$

Находим корни:

$$D=2^2+4=8,$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2}=-1\pm \sqrt{2}.$$

1) Если $$\frac{x^2}{x+1}=-1-\sqrt{2},$$ то

$$x^2+(1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})=0,$$

$$D=(1+\sqrt{2})^2-4(1+\sqrt{2})<0,$$

действительных корней нет.

2) Если $$\frac{x^2}{x+1}=\sqrt{2}-1,$$ то

$$x^2+(1-\sqrt{2})x+(1-\sqrt{2})=0.$$

Тогда

$$D=(1-\sqrt{2})^2-4(1-\sqrt{2})=-1+2\sqrt{2},$$

$$x=\frac{\sqrt{2}-1\pm \sqrt{-1+2\sqrt{2}}}{2}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}.$$

б) $$x=\frac{\sqrt{2}-1\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}.$$