Упр.112 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$

Так как $$-1\le \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

$$-2\le 2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 2.$$

Следовательно, $$E(f)=[-2;2].$$

Нули функции находим из уравнения

$$2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0,$$

откуда

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0,$$

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Значение при $$x=0$$:

$$f(0)=2\cos\frac{\pi}{4}=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.$$

Функция положительна, когда

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Функция отрицательна, когда

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Функция возрастает, если

$$-\pi+2\pi n\le x+\frac{\pi}{4}\le 2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{5\pi}{4}+2\pi n\le x\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Функция убывает, если

$$2\pi n\le x+\frac{\pi}{4}\le \pi+2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Максимумы достигаются при

$$x_{\max}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

минимумы — при

$$x_{\min}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$f(x)=\frac12\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right).$$

Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$

Так как $$-1\le \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\le 1,$$ то

$$-\frac12\le f(x)\le \frac12.$$

Следовательно, $$E(f)=\left[-\frac12;\frac12\right].$$

Нули функции:

$$\frac12\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=0,$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=0,$$

$$\frac{\pi}{3}-x=\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{3}-\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Значение при $$x=0$$:

$$f(0)=\frac12\sin\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$$

Функция положительна, когда

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)>0,$$

то есть

$$2\pi n<\frac{\pi}{3}-x<\pi+2\pi n,$$

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<-x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Функция отрицательна, когда

$$\pi+2\pi n<\frac{\pi}{3}-x<2\pi+2\pi n,$$

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<-x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,$$

$$-\frac{5\pi}{3}+2\pi n<x<-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Функция возрастает, если

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{\pi}{3}-x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Функция убывает, если

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{\pi}{3}-x\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le x\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Максимумы достигаются при

$$x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

минимумы — при

$$x_{\min}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

в) $$f(x)=\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Область определения:

$$x-\frac{\pi}{4}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,$$

откуда

$$x\ne \frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Значит,

$$D(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3\pi}{4}+\pi n\mid n\in\mathbb{Z}\right\}.$$

Область значений: $$E(f)=\mathbb{R}.$$

Нули функции:

$$\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0,$$

$$x-\frac{\pi}{4}=\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Значение при $$x=0$$:

$$f(0)=\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Функция возрастает на каждом промежутке области определения:

$$\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{3\pi}{4}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Точек максимума и минимума нет.

г) $$f(x)=1{,}5\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right).$$

Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$

Так как $$-1\le \cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\le 1,$$ то

$$-1{,}5\le f(x)\le 1{,}5.$$

Следовательно, $$E(f)=[-1{,}5;1{,}5].$$

Нули функции:

$$1{,}5\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=0,$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=0,$$

$$\frac{\pi}{6}-x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Значение при $$x=0$$:

$$f(0)=1{,}5\cos\frac{\pi}{6}=1{,}5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.$$

Функция положительна, когда

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)>0,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{\pi}{6}-x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<-x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Функция отрицательна, когда

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{\pi}{6}-x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<-x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,$$

$$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Функция возрастает, если

$$-\pi+2\pi n\le \frac{\pi}{6}-x\le 2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{11\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Функция убывает, если

$$2\pi n\le \frac{\pi}{6}-x\le \pi+2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Максимумы достигаются при

$$x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

минимумы — при

$$x_{\min}=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$