Упр.111 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x.$$

Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

$$y=2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right) =2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3}-\cos x\sin\frac{\pi}{3}\right) =2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

$$-2\le y\le 2.$$

Следовательно, $$E(y)=[-2;2].$$

б) $$y=\frac{3}{1+\tg^2 x}.$$

Положим $$\tg x=t,$$ тогда $$t\in\mathbb{R}$$ и

$$y=\frac{3}{1+t^2}.$$

Так как $$1+t^2\ge 1,$$ то

$$0<y\le 3.$$

Значит, $$E(y)=(0;3].$$

в) $$y=\sqrt{1-\cos 4x}.$$

Из неравенства $$-1\le \cos 4x\le 1$$ получаем

$$0\le 1-\cos 4x\le 2.$$

Тогда

$$0\le \sqrt{1-\cos 4x}\le \sqrt2.$$

Следовательно, $$E(y)=[0;\sqrt2].$$

г) $$y=\frac{2}{1+\ctg^2 x}.$$

Используем тождество $$1+\ctg^2 x=\csc^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}.$$ Тогда

$$y=\frac{2}{1+\ctg^2 x}=2\sin^2 x.$$

Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то

$$0\le y\le 2.$$

Следовательно, $$E(y)=[0;2].$$

Ответ

а) $$[-2;2]$$; б) $$(0;3]$$; в) $$[0;\sqrt2]$$; г) $$[0;2]$$.