Упр.110 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите: а) $$\sin(?) + \cos(?) > 1$$, если $$0 < ? < ?/2$$; б) $$\cos(\sin(?)) > 0$$, $$a?R$$.

Докажем неравенства.

Ход решения

а) Рассмотрим квадрат суммы:

$$(\sin \alpha+\cos \alpha)^2=\sin^2 \alpha+2\sin \alpha\cos \alpha+\cos^2 \alpha=1+2\sin \alpha\cos \alpha.$$

Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то $$\sin \alpha>0$$ и $$\cos \alpha>0,$$ значит

$$\sin \alpha\cos \alpha>0.$$

Следовательно,

$$(\sin \alpha+\cos \alpha)^2>1.$$

При этом $$\sin \alpha+\cos \alpha>0,$$ значит

$$\sin \alpha+\cos \alpha>1.$$

б) Пусть $$t=\sin \alpha.$$ Тогда

$$-1\le \sin \alpha \le 1,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{2}\le t\le \frac{\pi}{2}.$$

Но для всех $$t$$ из этого промежутка, кроме концов, выполняется

$$\cos t>0.$$

Так как $$\sin \alpha\in[-1,1],$$ то в данном случае

$$\cos(\sin \alpha)>0.$$

Ответ

а) $$\sin \alpha+\cos \alpha>1$$ при $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$; б) $$\cos(\sin \alpha)>0$$ при $$\alpha\in\mathbb{R}$$.