Упр.110 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$x^4+4x-1=0$$; б) $$x^4-4x^3-1=0$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$x^4+4x-1=0.$$

Добавим и вычтем удобные слагаемые:

$$x^4+2x^2+1-2x^2+4x-2=0,$$

$$\left(x^2+1\right)^2-2\left(x-1\right)^2=0.$$

Тогда

$$x^2+1=\pm \sqrt{2}\,(x-1).$$

1) Если

$$x^2+1=-\sqrt{2}\,(x-1),$$

то

$$x^2+\sqrt{2}x+1-\sqrt{2}=0.$$

Дискриминант:

$$D=2-4(1-\sqrt{2})=-2+4\sqrt{2}.$$

Отсюда

$$x=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{-2+4\sqrt{2}}}{2} =\frac{-1\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{\sqrt{2}}.$$

2) Если

$$x^2+1=\sqrt{2}\,(x-1),$$

то

$$x^2-\sqrt{2}x+1+\sqrt{2}=0.$$

Дискриминант:

$$D=2-4(1+\sqrt{2})=-2-4\sqrt{2}<0,$$

действительных корней нет.

б) Рассмотрим уравнение

$$x^4-4x^3-1=0.$$

При $$x\neq 0$$ разделим на $$x^4$$:

$$1-\frac{4}{x}-\frac{1}{x^4}=0.$$

Положим $$y=\frac{1}{x}$$. Тогда получим

$$1-4y-4y^2=0,$$

или

$$4y^2+4y-1=0.$$

Добавим и вычтем нужные слагаемые:

$$y^4+2y^2+1-2y^2+4y-2=0,$$

$$\left(y^2+1\right)^2-2\left(y-1\right)^2=0.$$

Следовательно,

$$y^2+1=\pm \sqrt{2}\,(y-1).$$

1) Если

$$y^2+1=-\sqrt{2}\,(y-1),$$

то

$$y^2+\sqrt{2}y+1-\sqrt{2}=0,$$

и

$$y=\frac{-1\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{\sqrt{2}}.$$

Так как $$x=\frac{1}{y},$$ то

$$x=\frac{\sqrt{2}}{-1\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}.$$

2) Если

$$y^2+1=\sqrt{2}\,(y-1),$$

то

$$y^2-\sqrt{2}y+1+\sqrt{2}=0,$$

действительных корней нет.

Ответ

а) $$x=\frac{-1\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{\sqrt{2}}.$$

б) $$x=\frac{\sqrt{2}}{-1\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}.$$