Упр.110 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Область определения задаётся условием

$$1-\sin x\ne 0,$$

то есть

$$\sin x\ne 1.$$

Это выполняется при всех $$x$$, кроме

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}.$$

б) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\sin^2\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}\ge 0.$$

Преобразуем:

$$\sin^2\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=-(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2})=-\cos x.$$

Тогда

$$-\cos x\ge 0,\qquad \cos x\le 0.$$

Отсюда

$$x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$D(y)=\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

в) Знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$\cos x-1\ne 0,$$

то есть

$$\cos x\ne 1.$$

Это происходит при

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$D(y)=\mathbb R\setminus\{2\pi n\mid n\in\mathbb Z\}.$$

г) Преобразуем выражение под корнем:

$$\tg x+\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin 2x}.$$

Тогда область определения задаётся условиями:

$$\sin x\ne 0,\qquad \cos x\ne 0,$$

и

$$\frac{1}{\sin 2x}\ge 0.$$

Так как числитель положителен, нужно

$$\sin 2x>0.$$

Отсюда

$$x\in\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$D(y)=\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$