Упр.11 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Какую производную имеет функция $$y=\log_a x$$? Найдите общий вид первообразных для функции $$f(x)=\frac{1}{x}$$.
- Найдите производную функции:
а) $$y=x\ln(3x)$$;
б) $$y=\log_2(7-2x)$$;
в) $$y=2\log_3 x$$;
г) $$y=\ln\left(\frac{x}{5}\right)$$. - Найдите общий вид первообразных для функции:
а) $$f(x)=\frac{1}{5x}$$;
б) $$g(x)=\frac{1}{x-3}$$;
в) $$u(x)=\frac{5}{x}$$;
г) $$h(x)=\frac{2}{x+1}$$.
1) Для функции $$y=\log_a x$$ производная равна
$$y'(x)=\frac{1}{x\ln a}.$$
Для функции $$f(x)=\frac{1}{x}$$ общий вид первообразной:
$$F(x)=\ln|x|+C.$$
Ход решения
2) Найдём производные.
$$y=x\ln(3x)$$
По правилу произведения:
$$y’=\ln(3x)+x\cdot\frac{3}{3x}=\ln(3x)+1.$$
$$y=\log_2(7-2x)$$
По формуле производной логарифма сложной функции:
$$y’=\frac{-2}{(7-2x)\ln 2}=\frac{2}{(2x-7)\ln 2}.$$
$$y=2\log_3 x$$
$$y’=2\cdot\frac{1}{x\ln 3}=\frac{2}{x\ln 3}.$$
$$y=\ln\frac{x}{5}$$
$$y’=\frac{1}{x/5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{x}.$$
3) Найдём общий вид первообразных.
$$f(x)=\frac{1}{5x}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x}$$
$$F(x)=\frac{1}{5}\ln|x|+C=\frac{1}{5}\ln|5x|+C.$$
$$g(x)=\frac{1}{x-3}$$
$$F(x)=\ln|x-3|+C.$$
$$u(x)=\frac{5}{x}=5\cdot\frac{1}{x}$$
$$F(x)=5\ln|x|+C.$$
$$h(x)=\frac{2}{x+1}$$
$$F(x)=2\ln|x+1|+C.$$
Ответ
$$\left(\log_a x\right)’=\frac{1}{x\ln a}, \qquad \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.$$
$$\begin{aligned} &\text{2a) } y’=\ln(3x)+1, \\ &\text{2б) } y’=\frac{2}{(2x-7)\ln 2}, \\ &\text{2в) } y’=\frac{2}{x\ln 3}, \\ &\text{2г) } y’=\frac{1}{x}. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &\text{3a) } F(x)=\frac{1}{5}\ln|x|+C, \\ &\text{3б) } F(x)=\ln|x-3|+C, \\ &\text{3в) } F(x)=5\ln|x|+C, \\ &\text{3г) } F(x)=2\ln|x+1|+C. \end{aligned}$$
