Упр.11 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке:
а) $$f(x)=0{,}8x^5-4x^3$$, $$[-1;2]$$;
б) $$f(x)=x-\sin(2x)$$, $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$;
в) $$f(x)=3x^2-2x^3$$, $$[-1;4]$$;
г) $$f(x)=x^2(6-x)$$, $$[-1;5]$$. - а) Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа, чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?
б) Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трёх сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь её при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?
1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно найти все критические точки функции, принадлежащие этому отрезку, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Ход решения
а) $$f(x)=0{,}8x^5-4x^3,\quad [-1;2].$$
$$f'(x)=0{,}8\cdot 5x^4-4\cdot 3x^2=4x^4-12x^2=4x^2(x^2-3).$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\pm\sqrt3.$$
На отрезке $$[-1;2]$$ лежат точки $$x=0$$ и $$x=\sqrt3.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и критических точках:
$$f(-1)=0{,}8\cdot(-1)^5-4\cdot(-1)^3=-0{,}8+4=3{,}2,$$
$$f(0)=0,$$
$$f(\sqrt3)=0{,}8\cdot(\sqrt3)^5-4\cdot(\sqrt3)^3=0{,}8\cdot 9\sqrt3-4\cdot 3\sqrt3=-4{,}8\sqrt3,$$
$$f(2)=0{,}8\cdot 2^5-4\cdot 2^3=25{,}6-32=-6{,}4.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-4{,}8\sqrt3,$$ наибольшее — $$3{,}2.$$
б) $$f(x)=x-\sin 2x,\quad \left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$
$$f'(x)=1-2\cos 2x.$$
Найдём критические точки:
$$1-2\cos 2x=0 \Rightarrow \cos 2x=\frac12.$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем точки $$x=\frac{\pi}{6}$$ и $$x=\frac{\pi}{2}$$, а также конец отрезка $$x=0.$$
Вычислим значения функции:
$$f(0)=0,$$
$$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{2},$$
$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-\sin\pi=\frac{\pi}{2}.$$
Значит, наименьшее значение равно $$\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{2},$$ наибольшее — $$\frac{\pi}{2}.$$
в) $$f(x)=3x^2-2x^3,\quad [-1;4].$$
$$f'(x)=6x-6x^2=6x(1-x).$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=1.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и критических точках:
$$f(-1)=3\cdot 1-2\cdot(-1)^3=3+2=5,$$
$$f(0)=0,$$
$$f(1)=3-2=1,$$
$$f(4)=3\cdot 16-2\cdot 64=48-128=-80.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-80,$$ наибольшее — $$5.$$
г) $$f(x)=x^2(6-x),\quad [-1;5].$$
$$f'(x)=2x(6-x)-x^2=12x-3x^2=3x(4-x).$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=4.$$
Вычислим значения функции:
$$f(-1)=(-1)^2(6-(-1))=7,$$
$$f(0)=0,$$
$$f(4)=4^2(6-4)=16\cdot 2=32,$$
$$f(5)=5^2(6-5)=25.$$
Значит, наименьшее значение равно $$0,$$ наибольшее — $$32.$$
3а) Пусть первое число равно $$x,$$ тогда второе $$x-8.$$
Рассмотрим функцию
$$f(x)=x^3(x-8).$$
$$f'(x)=3x^2(x-8)+x^3=4x^3-24x^2=4x^2(x-6).$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=6.$$
Так как требуется наименьшее значение произведения, получаем при $$x=6,$$ тогда второе число
$$6-8=-2.$$
Ответ: $$6$$ и $$-2.$$
3б) Пусть стороны площадки равны $$x$$ и $$y,$$ причём одна сторона примыкает к стене. Тогда ограждение нужно только для трёх сторон:
$$2x+y=200,\quad y=200-2x.$$
Площадь
$$S(x)=xy=x(200-2x)=200x-2x^2.$$
$$S'(x)=200-4x.$$
$$S'(x)=0 \Rightarrow x=50.$$
Тогда
$$y=200-2\cdot 50=100.$$
Следовательно, размеры площадки: $$50$$ м и $$100$$ м.
Ответ
1) Наибольшее и наименьшее значения на отрезке находят по значениям функции в критических точках и на концах отрезка.
2) а) $$-4{,}8\sqrt3$$ и $$3{,}2$$; б) $$\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{2}$$ и $$\frac{\pi}{2}$$; в) $$-80$$ и $$5$$; г) $$0$$ и $$32$$.
3) а) $$6$$ и $$-2$$; б) $$50$$ м и $$100$$ м.
