Упр.11 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Что такое числовая функция, её область определения, область значений?
2. Найдите область определения функции:
   а) $$y=\frac{3x+1}{x^2-7x+12}$$;
   б) $$y=\frac{1}{\sin x}$$;
   в) $$y=\sqrt{4-x^2}$$;
   г) $$y=\frac{1}{\cos x}$$.
3. Найдите область значений функции:
   а) $$y=3\cos x-1$$;
   б) $$y=\frac{1}{x^2}+1$$;
   в) $$y=2-\sin x$$;
   г) $$y=3-x^4$$.

1) Числовой функцией с областью определения $$D(f)$$ называется соответствие, при котором каждому числу $$x$$ из множества $$D(f)$$ по некоторому правилу сопоставляется единственное число $$y$$, зависящее от $$x$$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $$x$$.

Область значений функции — это множество всех значений $$f(x)$$, которые принимает функция.

Ход решения

2) Найдём область определения функций.

1. $$y=\dfrac{3x+1}{x^2-7x+12}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$x^2-7x+12\ne 0$$

   $$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$$

   Следовательно, $$x\ne 3$$ и $$x\ne 4$$.

   $$D(f)=(-\infty;3)\cup(3;4)\cup(4;+\infty)$$

2. $$y=\dfrac{1}{\sin x}$$

   Знаменатель не равен нулю:

   $$\sin x\ne 0$$

   $$x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

   $$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{\pi n\mid n\in\mathbb{Z}\}$$

3. $$y=\sqrt{4-x^2}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$4-x^2\ge 0$$

   $$x^2\le 4$$

   $$-2\le x\le 2$$

   $$D(f)=[-2;2]$$

4. $$y=\dfrac{1}{\cos x}$$

   Знаменатель не равен нулю:

   $$\cos x\ne 0$$

   $$x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

   $$D(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi n\mid n\in\mathbb{Z}\right\}$$

3) Найдём область значений функций.

1. $$y=3\cos x-1$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, то

   $$-3\le 3\cos x\le 3$$

   $$-4\le 3\cos x-1\le 2$$

   $$E(f)=[-4;2]$$

2. $$y=\dfrac{1}{x^2}+1$$

   При $$x\ne 0$$ имеем $$\dfrac{1}{x^2}>0$$, значит

   $$y>1$$

   При этом сколь угодно больших значений функция достигает.

   $$E(f)=(1;+\infty)$$

3. $$y=2-\sin x$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1$$, то

   $$-1\le -\sin x\le 1$$

   $$1\le 2-\sin x\le 3$$

   $$E(f)=[1;3]$$

4. $$y=3-x^4$$

   Поскольку $$x^4\ge 0$$, то

   $$3-x^4\le 3$$

   Наименьшего значения функция не имеет, так как при $$|x|\to +\infty$$ величина $$x^4\to +\infty$$, а значит $$y\to -\infty$$.

   $$E(f)=(-\infty;3]$$

Ответ

1) Числовая функция — это соответствие, при котором каждому $$x\in D(f)$$ сопоставляется единственное число $$y=f(x)$$. Область определения — множество допустимых значений $$x$$, область значений — множество всех значений функции.

2) а) $$(-\infty;3)\cup(3;4)\cup(4;+\infty)$$; б) $$\mathbb{R}\setminus\{\pi n\mid n\in\mathbb{Z}\}$$; в) $$[-2;2]$$; г) $$\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi n\mid n\in\mathbb{Z}\right\}$$.

3) а) $$[-4;2]$$; б) $$(1;+\infty)$$; в) $$[1;3]$$; г) $$(-\infty;3]$$.