Упр.11 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Дано: $$\lg(16)=1{,}20412\ldots$$ Найдите количество цифр и первую цифру числа $$125^{100}$$.

Найдём сначала количество цифр числа $$125^{100}.$$

Имеем:

$$\lg 16=1{,}20412\ldots$$

Тогда

$$\lg 4=\frac{\lg 16}{2}\approx 0{,}60206,$$

$$\lg 2=\frac{\lg 16}{4}\approx 0{,}30103,$$

$$\lg 5=\lg\frac{10}{2}=1-\lg 2\approx 0{,}69897.$$

Теперь

$$\lg 125^{100}=100\cdot \lg 125=100\cdot 3\lg 5\approx 100\cdot 3\cdot 0{,}69897=209{,}691.$$

Если число $$N$$ имеет $$k$$ цифр, то

$$k-1\le \lg N<k.$$

Значит, для числа $$125^{100}$$ получаем

$$209\le 209{,}691<210,$$

откуда число имеет $$210$$ цифр.

Чтобы найти первую цифру, рассмотрим дробную часть логарифма:

$$209{,}691-209=0{,}691.$$

Сравним:

$$\lg 4\approx 0{,}60206<0{,}691<0{,}69897\approx \lg 5.$$

Следовательно, первая цифра числа $$125^{100}$$ — $$4$$.

Ответ

$$210;\ 4.$$