Упр.11 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\frac{2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta}$$
Используем формулы:
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$
Тогда
$$\frac{2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta} = \frac{2\sin\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta-2\sin\alpha\sin\beta}$$
$$= \frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} = \tg(\alpha+\beta).$$
б) $$\frac{1-\cos\alpha+\cos2\alpha}{\sin2\alpha-\sin\alpha}$$
Используем формулы:
$$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1,\qquad \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.$$
Тогда
$$\frac{1-\cos\alpha+\cos2\alpha}{\sin2\alpha-\sin\alpha} = \frac{1-\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1}{2\sin\alpha\cos\alpha-\sin\alpha} = \frac{2\cos^2\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha(2\cos\alpha-1)}$$
$$= \frac{\cos\alpha(2\cos\alpha-1)}{\sin\alpha(2\cos\alpha-1)} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \ctg\alpha.$$
в) $$\frac{\sqrt2\cos\alpha-2\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\sqrt2\sin\alpha}$$
Используем формулы суммы и значения тригонометрических функций угла $$\frac{\pi}{4}$$:
$$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha,$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha.$$
Тогда
$$\frac{\sqrt2\cos\alpha-2\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\sqrt2\sin\alpha} = \frac{\sqrt2\cos\alpha-2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha\right)}{2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha\right)-\sqrt2\sin\alpha}$$
$$= \frac{\sqrt2\sin\alpha}{\sqrt2\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha.$$
г) $$\ctg^2\alpha\,(1-\cos2\alpha)+\cos^2\alpha$$
Используем формулу:
$$1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha.$$
Тогда
$$\ctg^2\alpha\,(1-\cos2\alpha)+\cos^2\alpha = \ctg^2\alpha\cdot 2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$$
$$= \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\cdot 2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha+\cos^2\alpha = 3\cos^2\alpha.$$
Ответ
а) $$\tg(\alpha+\beta)$$; б) $$\ctg\alpha$$; в) $$\tg\alpha$$; г) $$3\cos^2\alpha$$.
