Упр.109 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Сравните числа: а) $$\sin(?+1/?)$$ и $$\cos(?+1/?)$$; б) $$\operatorname{tg}(?^2)$$ и $$\operatorname{ctg}(?^2)$$; в) $$\operatorname{tg}(2)$$ и $$\operatorname{ctg}(2)$$; г) $$\sin(1)$$ и $$\cos(1)$$.

Подробный ответ

а) $$\frac{1}{\pi}<\frac{\pi}{4},$$ поэтому на промежутке $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$\sin x$$ возрастает, а функция $$\cos x$$ убывает. Следовательно,

$$\sin\left(\pi+\frac{1}{\pi}\right)>\cos\left(\pi+\frac{1}{\pi}\right).$$

б) $$\pi^2\approx 9{,}9,$$ значит $$\pi^2-3\pi\approx 0{,}4<\frac{\pi}{4}.$$ На промежутке $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ при меньшем аргументе тангенс меньше котангенса, поэтому

$$\tg \pi^2<\ctg \pi^2.$$

в) $$2<\frac{3\pi}{4},\qquad 2>\frac{\pi}{2}.$$ Так как при $$x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$$ функция $$\tg x$$ отрицательна, а $$\ctg x$$ тоже отрицательна, и при $$x=2$$ получаем

$$\tg 2<\ctg 2.$$

г) $$1>\frac{\pi}{4},\qquad 1<\frac{\pi}{2}.$$ На промежутке $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$\sin x$$ возрастает, а $$\cos x$$ убывает, значит

$$\sin 1>\cos 1.$$