Упр.109 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$8x^4+8x^3-x-190=0$$; б) $$4x^4-4x^3+x/2=66$$.

а) $$8x^4+8x^3-x-190=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$8x^3(x+1)-(x+1)-189=0,$$

$$\left(8x^3-1\right)(x+1)=189.$$

Разложим разность кубов:

$$\left(2x-1\right)\left(4x^2+2x+1\right)(x+1)=189.$$

Заметим, что

$$\left(2x^2+x-1\right)\left(4x^2+2x+1\right)=189.$$

Положим $$y=2x^2+x.$$ Тогда получаем:

$$\left(y-1\right)\left(2y+1\right)=189,$$

$$2y^2-y-190=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+4\cdot 2\cdot 190=1521=39^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 39}{4}.$$

Отсюда

$$y_1=-\frac{19}{2}, \qquad y_2=10.$$

1) Если $$2x^2+x=-\frac{19}{2},$$ то

$$4x^2+2x+19=0,$$

$$D=2^2-4\cdot 4\cdot 19=4-304<0,$$

действительных корней нет.

2) Если $$2x^2+x=10,$$ то

$$2x^2+x-10=0,$$

$$D=1+80=81,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{4}.$$

Получаем:

$$x_1=-\frac{5}{2}, \qquad x_2=2.$$

б) $$4x^4-4x^3+\frac{x}{2}=66.$$

Умножим уравнение на $$2$$:

$$8x^4-8x^3+x-132=0.$$

Сгруппируем:

$$8x^3(x-1)+(x-1)-131=0,$$

$$\left(8x^3+1\right)(x-1)=131.$$

Разложим сумму кубов:

$$\left(2x+1\right)\left(4x^2-2x+1\right)(x-1)=131.$$

Заметим, что

$$\left(2x^2-x-1\right)\left(4x^2-2x+1\right)=131.$$

Положим $$y=2x^2-x.$$ Тогда

$$\left(y-1\right)\left(2y+1\right)=131,$$

$$2y^2-y-132=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+4\cdot 2\cdot 132=1057,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1057}}{4}.$$

1) Если $$2x^2-x=\frac{1-\sqrt{1057}}{4},$$ то

$$8x^2-4x+\sqrt{1057}-1=0,$$

$$D=16-32\sqrt{1057}-32<0,$$

действительных корней нет.

2) Если $$2x^2-x=\frac{1+\sqrt{1057}}{4},$$ то

$$8x^2-4x-(1+\sqrt{1057})=0,$$

$$D=16+32+32\sqrt{1057}=16\left(3+2\sqrt{1057}\right).$$

Тогда

$$x=\frac{4\pm \sqrt{16\left(3+2\sqrt{1057}\right)}}{16}=\frac{1\pm \sqrt{3+2\sqrt{1057}}}{4}.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{5}{2},\ 2.$$

б) $$x=\frac{1\pm \sqrt{3+2\sqrt{1057}}}{4}.$$