Упр.109 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Расположим значения, используя монотонность тригонометрических функций на соответствующих промежутках.

1. Для функции $$\cos x$$ на промежутке $$[0;\pi]$$ она убывает. Приведём аргументы к этому промежутку:

   $$\cos 4=\cos(2\pi-4),\quad \cos 7=\cos(7-2\pi),\quad \cos 9=\cos(9-2\pi),\quad \cos(-12{,}5)=\cos(4\pi-12{,}5).$$

   Так как

   $$4\pi-12{,}5<7-2\pi<2\pi-4<9-2\pi,$$

   то при убывании косинуса получаем:

   $$\cos(4\pi-12{,}5)>\cos(7-2\pi)>\cos(2\pi-4)>\cos(9-2\pi).$$

   Следовательно, по возрастанию:

   $$\cos 9,\ \cos 4,\ \cos 7,\ \cos(-12{,}5).$$

2. Функция $$\tg x$$ возрастает на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$ Приведём аргументы к этому промежутку:

   $$\tg(-8)=\tg(3\pi-8),\quad \tg 4=\tg(4-\pi),\quad \tg 16=\tg(16-5\pi).$$

   Сравним аргументы:

   $$16-5\pi<4-\pi<1{,}3<3\pi-8.$$

   Так как тангенс возрастает, то

   $$\tg(16-5\pi)<\tg(4-\pi)<\tg 1{,}3<\tg(3\pi-8).$$

   Значит, по возрастанию:

   $$\tg 16,\ \tg 4,\ \tg 1{,}3,\ \tg(-8).$$

3. Функция $$\sin x$$ возрастает на промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$ Приведём аргументы к этому промежутку:

   $$\sin 6{,}7=\sin(6{,}7-2\pi),\quad \sin 10{,}5=\sin(3\pi-10{,}5),\quad \sin(-7)=\sin(2\pi-7),\quad \sin 20{,}5=\sin(7\pi-20{,}5).$$

   Тогда

   $$3\pi-10{,}5<2\pi-7<6{,}7-2\pi<7\pi-20{,}5.$$

   Следовательно,

   $$\sin(3\pi-10{,}5)<\sin(2\pi-7)<\sin(6{,}7-2\pi)<\sin(7\pi-20{,}5).$$

   По возрастанию:

   $$\sin 10{,}5,\ \sin(-7),\ \sin 6{,}7,\ \sin 20{,}5.$$

4. Функция $$\ctg x$$ убывает на промежутке $$(0;\pi).$$ Приведём аргументы к этому промежутку:

   $$\ctg(-9)=\ctg(4\pi-9),\quad \ctg 15=\ctg(15-3\pi).$$

   Сравним аргументы:

   $$15-3\pi<5<4\pi-9<3{,}5<2\pi.$$

   Так как котангенс убывает, то

   $$\ctg(15-3\pi)>\ctg 5>\ctg(4\pi-9)>\ctg 3{,}5.$$

   Значит, по возрастанию:

   $$\ctg 15,\ \ctg 5,\ \ctg(-9),\ \ctg 3{,}5.$$