Упр.108 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$x^4-2x^3+\frac{3}{4}x^2-2x+1=0$$; б) $$2x^4+x^3-3x^2+x+2=0$$; в) $$x^4-2x^3-3x^2+4x+4=0$$; г) $$x^4-4x^3-18x^2-12x+9=0$$.

а) Умножим уравнение на $$4$$:

$$4x^4-8x^3+3x^2-8x+4=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$4x^2-8x+3-\frac{8}{x}+\frac{4}{x^2}=0.$$

Тогда

$$4\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)-8\left(x+\frac{1}{x}\right)=5.$$

Пусть $$y=x+\frac{1}{x}$$. Тогда

$$4y^2-8y=5,$$

$$4y^2-8y-5=0.$$

$$D=8^2+4\cdot 4\cdot 5=64+80=144,$$

$$y_{1,2}=\frac{8\pm 12}{8}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=\frac52.$$

1) Если $$x+\frac{1}{x}=-\frac12,$$ то

$$2x^2+x+2=0,$$

$$D=1-16=-15<0.$$

2) Если $$x+\frac{1}{x}=\frac52,$$ то

$$2x^2-5x+2=0,$$

$$D=25-16=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Отсюда $$x=\frac12$$ или $$x=2$$.

Ответ: $$\frac12,\ 2.$$

б) Умножим уравнение на $$x^2$$:

$$2x^4+x^3-3x^2+x+2=0.$$

Перепишем:

$$2x^2+x-3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0.$$

Тогда

$$2\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)=7.$$

Пусть $$y=x+\frac{1}{x}$$. Тогда

$$2y^2+y=7,$$

$$2y^2+y-7=0.$$

$$D=1+56=57,$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{57}}{4}.$$

1) Если $$x+\frac{1}{x}=\frac{-1-\sqrt{57}}{4},$$ то

$$4x^2+(1+\sqrt{57})x+4=0,$$

$$D=(1+\sqrt{57})^2-64=2\sqrt{57}-6=2(\sqrt{57}-3).$$

Тогда

$$x=\frac{-1-\sqrt{57}\pm \sqrt{2(\sqrt{57}-3)}}{8}.$$

2) Если $$x+\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{57}-1}{4},$$ то

$$4x^2+(1-\sqrt{57})x+4=0,$$

$$D=(1-\sqrt{57})^2-64<0,$$

действительных корней нет.

Ответ: $$\frac{-1-\sqrt{57}\pm \sqrt{2(\sqrt{57}-3)}}{8}.$$

в) Умножим уравнение на $$x^2$$:

$$x^4-2x^3-3x^2+4x+4=0.$$

Получим

$$x^2-2x-3+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}=0.$$

Преобразуем:

$$\left(x^2-4+\frac{4}{x^2}\right)-2\left(x-\frac{2}{x}\right)=-1.$$

Пусть $$y=x-\frac{2}{x}$$. Тогда

$$y^2-2y=-1,$$

$$y^2-2y+1=0,$$

$$\left(y-1\right)^2=0,$$

$$y=1.$$

Значит,

$$x-\frac{2}{x}=1,$$

$$x^2-x-2=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$

Отсюда $$x=-1$$ или $$x=2$$.

Ответ: $$-1,\ 2.$$

г) Умножим уравнение на $$x^2$$:

$$x^4-4x^3-18x^2-12x+9=0.$$

Тогда

$$x^2-4x-18-\frac{12}{x}+\frac{9}{x^2}=0.$$

Преобразуем:

$$\left(x^2+6+\frac{9}{x^2}\right)-4\left(x+\frac{3}{x}\right)=24.$$

Пусть $$y=x+\frac{3}{x}$$. Тогда

$$y^2-4y=24,$$

$$y^2-4y-24=0.$$

$$D=16+96=112,$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{112}}{2}=2\pm 2\sqrt{7}.$$

1) Если $$x+\frac{3}{x}=2-2\sqrt{7},$$ то

$$x^2+(2\sqrt{7}-2)x+3=0,$$

$$D=(2\sqrt{7}-2)^2-12<0,$$

действительных корней нет.

2) Если $$x+\frac{3}{x}=2+2\sqrt{7},$$ то

$$x^2-(2+2\sqrt{7})x+3=0,$$

$$D=(2+2\sqrt{7})^2-12=4(5+2\sqrt{7}).$$

Тогда

$$x=\frac{2+2\sqrt{7}\pm 2\sqrt{5+2\sqrt{7}}}{2}=1+\sqrt{7}\pm \sqrt{5+2\sqrt{7}}.$$

Ответ: $$1+\sqrt{7}\pm \sqrt{5+2\sqrt{7}}.$$