Упр.107 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте функцию и постройте её график:
   а) $$y=\frac{1}{2}+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right);$$
   б) $$y=\frac{1}{2}\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right);$$
   в) $$y=1+\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right);$$
   г) $$y=1-\operatorname{tg}(2x).$$

а) $$y=\frac12+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

$$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=\left[-\frac12;\frac32\right].$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период $$T=2\pi.$$

Нули функции:

$$\frac12+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0 \iff \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12.$$

Отсюда

$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Знак функции:

$$y>0 \text{ при } 2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,$$

$$y<0 \text{ при } -\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<2\pi n.$$

Монотонность:

$$y’=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Поэтому функция возрастает на

$$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],$$

и убывает на

$$\left[-\frac{4\pi}{3}+2\pi n;-\frac{\pi}{3}+2\pi n\right].$$

Максимум и минимум:

$$y_{\max}=\frac32 \text{ при } x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$y_{\min}=-\frac12 \text{ при } x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$y=\frac12\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right).$$

Область определения:

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,$$

то есть

$$D(y)=\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

Область значений:

$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период $$T=2\pi.$$

Нули функции:

$$\frac12\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=0 \iff \frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}=\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Знак функции:

$$y>0 \text{ при } \frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,$$

$$y<0 \text{ при } -\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Так как $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке своей области определения, то и данная функция возрастает на

$$\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

в) $$y=1+\frac12\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right).$$

Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$ то

$$y=1+\frac12\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Область определения:

$$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=\left[\frac12;\frac32\right].$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период $$T=2\pi.$$

Так как $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

$$y>0 \text{ на всей области определения}.$$

Монотонность:

$$y’=-\frac12\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Следовательно, функция возрастает на

$$\left[-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n\right],$$

и убывает на

$$\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right],\qquad n\in\mathbb Z.$$

Максимум и минимум:

$$y_{\max}=\frac32 \text{ при } x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

$$y_{\min}=\frac12 \text{ при } x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

г) $$y=1-\tg 2x.$$

Область определения:

$$2x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,$$

то есть

$$D(y)=\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

Область значений:

$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период $$T=\frac{\pi}{2}.$$

Нули функции:

$$1-\tg 2x=0 \iff \tg 2x=1 \iff 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Знак функции:

$$y>0 \text{ при } -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},$$

$$y<0 \text{ при } \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Так как $$\tg 2x$$ возрастает, то функция $$y=1-\tg 2x$$ убывает на каждом промежутке своей области определения:

$$\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$