Упр.107 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнения:

1. а) $$x^2+\frac{1}{x^2}+2\left(x+\frac{1}{x}\right)=6$$; б) $$\frac{6x}{x^2+2x+3}+\frac{11x}{x^2+7x+3}=2$$.

Решение

а) Введём замену:

$$y=x+\frac{1}{x}.$$

Тогда

$$x^2+\frac{1}{x^2}= \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=y^2-2.$$

Подставим в уравнение:

$$y^2-2+2y=6,$$

$$y^2+2y-8=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36,$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=-4,\qquad y_2=2.$$

1) Если $$x+\frac{1}{x}=-4,$$ то

$$x^2+4x+1=0,$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 1=12,$$

$$x=\frac{-4\pm \sqrt{12}}{2}=-2\pm \sqrt{3}.$$

2) Если $$x+\frac{1}{x}=2,$$ то

$$x^2-2x+1=0,$$

$$\left(x-1\right)^2=0,$$

$$x=1.$$

б) Введём замену:

$$y=x+\frac{3}{x}.$$

Тогда

$$x^2+2x+3=x\left(x+2+\frac{3}{x}\right)=x(y+2),$$

$$x^2+7x+3=x\left(x+7+\frac{3}{x}\right)=x(y+7).$$

Уравнение принимает вид:

$$\frac{6}{y+2}+\frac{11}{y+7}=2.$$

Умножим на $$\left(y+2\right)\left(y+7\right):$$

$$6(y+7)+11(y+2)=2(y+2)(y+7).$$

$$6y+42+11y+22=2y^2+18y+28,$$

$$2y^2+y-36=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-36)=289,$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 17}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac{9}{2},\qquad y_2=4.$$

1) Если $$x+\frac{3}{x}=-\frac{9}{2},$$ то

$$2x^2+9x+6=0,$$

$$D=9^2-4\cdot 2\cdot 6=33,$$

$$x=\frac{-9\pm \sqrt{33}}{4}.$$

2) Если $$x+\frac{3}{x}=4,$$ то

$$x^2-4x+3=0,$$

$$\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0,$$

$$x=1 \text{ или } x=3.$$

Ответ

а) $$-2-\sqrt{3},\ -2+\sqrt{3},\ 1.$$

б) $$\frac{-9-\sqrt{33}}{4},\ \frac{-9+\sqrt{33}}{4},\ 1,\ 3.$$