Упр.106 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Постройте графики функций: а) $$y=\frac{|x|\sin x}{x}$$; б) $$y=(\sin x-\cos x)^2$$; в) $$y=\cos x+|\cos x|$$; г) $$y=\sin x\operatorname{ctg}x$$.
а) $$y=\frac{|x|\sin x}{x}.$$
При $$x>0$$ имеем $$|x|=x$$, значит
$$y=\frac{x\sin x}{x}=\sin x.$$
При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, значит
$$y=\frac{-x\sin x}{x}=-\sin x.$$
Следовательно,
$$y= \begin{cases} \sin x, & x>0,\\ -\sin x, & x<0. \end{cases}$$
В точке $$x=0$$ функция не определена. График состоит из ветви $$y=\sin x$$ при $$x>0$$ и ветви $$y=-\sin x$$ при $$x<0$$, с выколотой точкой в начале координат.
б) $$y=(\sin x-\cos x)^2.$$
Раскроем квадрат:
$$y=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x.$$
Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$, получаем
$$y=1-2\sin x\cos x=1-\sin 2x.$$
Это синусоида с периодом $$\pi$$, сдвинутая вверх на $$1$$.
в) $$y=\cos x+|\cos x|.$$
Если $$\cos x\ge 0$$, то $$|\cos x|=\cos x$$ и
$$y=\cos x+\cos x=2\cos x.$$
Если $$\cos x<0$$, то $$|\cos x|=-\cos x$$ и
$$y=\cos x-\cos x=0.$$
Значит,
$$y= \begin{cases} 2\cos x, & \cos x\ge 0,\\ 0, & \cos x<0. \end{cases}$$
График совпадает с графиком $$y=2\cos x$$ на тех промежутках, где $$\cos x\ge 0$$, и лежит на оси $$Ox$$ там, где $$\cos x<0$$.
г) $$y=\sin x\ctg x.$$
Так как $$\ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$$, то при $$\sin x\ne 0$$
$$y=\sin x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=\cos x.$$
Но исходное выражение определено только при $$\sin x\ne 0$$, то есть при $$x\ne \pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Следовательно, график — это график функции $$y=\cos x$$ с выколотыми точками в местах $$x=\pi k$$.
Ответ: а) $$y=\sin x$$ при $$x>0$$ и $$y=-\sin x$$ при $$x<0$$; б) $$y=1-\sin 2x$$; в) $$y=2\cos x$$ при $$\cos x\ge 0$$ и $$y=0$$ при $$\cos x<0$$; г) $$y=\cos x$$, $$x\ne \pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
