Упр.106 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите уравнения:
- а) $$\frac{1}{x(x+2)}-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{1}{12}$$;
- б) $$6-\frac{21}{x^2-4x+10}=4x-x^2$$;
- в) $$\frac{1}{(x+2)(x-7)}+\frac{2}{(x-2)(x-3)}=1$$;
- г) $$(x^2-3x+1)(x^2+3x+2)(x^2-9x+20)=-30$$.
а) Обозначим $$y=x^2+2x.$$ Тогда уравнение принимает вид
$$\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}=\frac{1}{12}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(y+1)-y}{y(y+1)}=\frac{1}{12},$$
$$\frac{1}{y(y+1)}=\frac{1}{12},$$
$$y(y+1)=12.$$
Получаем
$$y^2+y-12=0,$$
$$D=1+48=49,$$
$$y_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\qquad y_2=\frac{-1+7}{2}=3.$$
1) $$x^2+2x=-4,$$
$$x^2+2x+4=0,$$
$$D=4-16=-12<0.$$
2) $$x^2+2x=3,$$
$$x^2+2x-3=0,$$
$$D=4+12=16,$$
$$x_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\qquad x_2=\frac{-2+4}{2}=1.$$
Ответ: $$-3;\ 1.$$
б) Обозначим $$y=x^2-4x.$$ Тогда
$$6-\frac{21}{y+10}=-y.$$
Умножим на $$y+10$$:
$$6(y+10)-21=-y(y+10),$$
$$6y+60-21=-y^2-10y,$$
$$y^2+16y+39=0.$$
$$D=16^2-4\cdot 39=100,$$
$$y_1=\frac{-16-10}{2}=-13,\qquad y_2=\frac{-16+10}{2}=-3.$$
1) $$x^2-4x=-13,$$
$$x^2-4x+13=0,$$
$$D=16-52=-36<0.$$
2) $$x^2-4x=-3,$$
$$x^2-4x+3=0,$$
$$D=16-12=4,$$
$$x_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad x_2=\frac{4+2}{2}=3.$$
Ответ: $$1;\ 3.$$
в) Обозначим $$y=x^2-5x.$$ Тогда
$$\frac{1}{y-14}+\frac{2}{y+6}=1.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{y+6+2(y-14)}{(y-14)(y+6)}=1,$$
$$y+6+2y-28=(y-14)(y+6),$$
$$3y-22=y^2-8y-84,$$
$$y^2-11y-62=0.$$
$$D=11^2+4\cdot 62=369,$$
$$y_{1,2}=\frac{11\pm \sqrt{369}}{2}=\frac{11\pm 3\sqrt{41}}{2}.$$
Теперь решаем два квадратных уравнения:
$$x^2-5x=\frac{11+3\sqrt{41}}{2},\qquad x^2-5x=\frac{11-3\sqrt{41}}{2}.$$
Отсюда
$$2x^2-10x-(11+3\sqrt{41})=0,$$
$$D=100+8(11+3\sqrt{41})=4(47+6\sqrt{41}),$$
$$x=\frac{10\pm \sqrt{4(47+6\sqrt{41})}}{4}=\frac{5\pm \sqrt{47+6\sqrt{41}}}{2};$$
$$2x^2-10x-(11-3\sqrt{41})=0,$$
$$D=100+8(11-3\sqrt{41})=4(47-6\sqrt{41}),$$
$$x=\frac{5\pm \sqrt{47-6\sqrt{41}}}{2}.$$
Ответ: $$\frac{5-\sqrt{47-6\sqrt{41}}}{2};\ \frac{5+\sqrt{47-6\sqrt{41}}}{2};\ \frac{5-\sqrt{47+6\sqrt{41}}}{2};\ \frac{5+\sqrt{47+6\sqrt{41}}}{2}.$$
г) Обозначим $$y=x^2-3x+1.$$ Тогда
$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2),\qquad x^2-9x+20=(x-4)(x-5),$$
и после группировки получаем
$$y(y-5)(y-11)=-30.$$
Тогда
$$y^3-16y^2+55y+30=0.$$
Проверка даёт корень $$y=6$$, значит
$$y^3-16y^2+55y+30=(y-6)(y^2-10y-5)=0.$$
Следовательно,
$$y=6,\qquad y=5\pm \sqrt{30}.$$
1) $$x^2-3x+1=6,$$
$$x^2-3x-5=0,$$
$$D=9+20=29,$$
$$x=\frac{3\pm \sqrt{29}}{2}.$$
2) $$x^2-3x+1=5+\sqrt{30},$$
$$x^2-3x-(4+\sqrt{30})=0,$$
$$D=9+16+4\sqrt{30}=25+4\sqrt{30},$$
$$x=\frac{3\pm \sqrt{25+4\sqrt{30}}}{2}.$$
3) $$x^2-3x+1=5-\sqrt{30},$$
$$x^2-3x-(4-\sqrt{30})=0,$$
$$D=9+16-4\sqrt{30}=25-4\sqrt{30},$$
$$x=\frac{3\pm \sqrt{25-4\sqrt{30}}}{2}.$$
Ответ: $$\frac{3-\sqrt{29}}{2};\ \frac{3+\sqrt{29}}{2};\ \frac{3-\sqrt{25+4\sqrt{30}}}{2};\ \frac{3+\sqrt{25+4\sqrt{30}}}{2};\ \frac{3-\sqrt{25-4\sqrt{30}}}{2};\ \frac{3+\sqrt{25-4\sqrt{30}}}{2}.$$
