Упр.106 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Для колебаний вида $$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$$ амплитуда равна $$A$$, период:

$$T=\frac{2\pi}{\omega},$$

частота:

$$\nu=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}.$$

1. $$x(t)=3{,}5\cos 4\pi t,\quad t_1=\frac{1}{12}\text{ c}.$$

   $$A=3{,}5,\quad \omega=4\pi,\quad T=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2},\quad \nu=2.$$

   $$x\!\left(\frac{1}{12}\right)=3{,}5\cos\left(4\pi\cdot\frac{1}{12}\right)=3{,}5\cos\frac{\pi}{3}=3{,}5\cdot\frac{1}{2}=1{,}75.$$

2. $$x(t)=5\cos\left(3\pi t+\frac{\pi}{6}\right),\quad t_1=4{,}5\text{ c}.$$

   $$A=5,\quad \omega=3\pi,\quad T=\frac{2\pi}{3\pi}=\frac{2}{3},\quad \nu=\frac{3}{2}.$$

   $$x(4{,}5)=5\cos\left(3\pi\cdot4{,}5+\frac{\pi}{6}\right)=5\cos\left(\frac{27\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\right).$$

   $$\frac{27\pi}{2}+\frac{\pi}{6}=12\pi+\frac{2\pi}{3},\quad \cos\left(12\pi+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}.$$

   $$x(4{,}5)=5\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-2{,}5.$$

3. $$x(t)=1{,}5\cos 6\pi t,\quad t_1=1\frac{1}{3}\text{ c}=\frac{4}{3}\text{ c}.$$

   $$A=1{,}5,\quad \omega=6\pi,\quad T=\frac{2\pi}{6\pi}=\frac{1}{3},\quad \nu=3.$$

   $$x\!\left(\frac{4}{3}\right)=1{,}5\cos\left(6\pi\cdot\frac{4}{3}\right)=1{,}5\cos 8\pi=1{,}5.$$

4. $$x(t)=0{,}5\cos\left(\frac{\pi t}{2}+\frac{\pi}{3}\right),\quad t_1=8\text{ c}.$$

   $$A=0{,}5,\quad \omega=\frac{\pi}{2},\quad T=\frac{2\pi}{\pi/2}=4,\quad \nu=\frac{1}{4}.$$

   $$x(8)=0{,}5\cos\left(\frac{\pi\cdot 8}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=0{,}5\cos\left(4\pi+\frac{\pi}{3}\right)=0{,}5\cos\frac{\pi}{3}=0{,}25.$$

Ответ

а) $$A=3{,}5,\ T=\frac{1}{2},\ \nu=2,\ x\!\left(\frac{1}{12}\right)=1{,}75.$$

б) $$A=5,\ T=\frac{2}{3},\ \nu=\frac{3}{2},\ x(4{,}5)=-2{,}5.$$

в) $$A=1{,}5,\ T=\frac{1}{3},\ \nu=3,\ x\!\left(1\frac{1}{3}\right)=1{,}5.$$

г) $$A=0{,}5,\ T=4,\ \nu=\frac{1}{4},\ x(8)=0{,}25.$$