Упр.105 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40$$;
   б) $$(x-1)^5+(x+3)^5=242(x+1)$$;
   в) $$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=100$$;
   г) $$x^4+(x+2)^4=17$$.

а) Обозначим $$y=x^2+6x+5.$$ Тогда

$$(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=(x^2+6x+5)(x^2+6x+8)=40,$$

то есть

$$y(y+3)=40 \;\Rightarrow\; y^2+3y-40=0.$$

$$D=3^2+4\cdot 40=169,\quad y_1=-8,\quad y_2=5.$$

1) $$x^2+6x+5=-8 \;\Rightarrow\; x^2+6x+13=0,$$

$$D=36-52=-16<0,$$

действительных корней нет.

2) $$x^2+6x+5=5 \;\Rightarrow\; x^2+6x=0 \;\Rightarrow\; x(x+6)=0,$$

$$x=-6,\; 0.$$

б) Пусть $$y=x+1.$$ Тогда

$$(x-1)^5+(x+3)^5=242(x+1) \;\Rightarrow\; (y-2)^5+(y+2)^5=242y.$$

Раскроем скобки:

$$(y-2)^5+(y+2)^5=2y^5+80y^3+160y.$$

Получаем

$$2y^5+80y^3+160y=242y \;\Rightarrow\; 2y^5+80y^3-82y=0 \;\Rightarrow\; 2y(y^4+40y^2-41)=0.$$

Отсюда либо $$y=0,$$ либо

$$y^4+40y^2-41=0.$$

Положим $$z=y^2.$$ Тогда

$$z^2+40z-41=0.$$

$$D=40^2+4\cdot 41=1764,\quad z_1=-41,\quad z_2=1.$$

Так как $$z=y^2\ge 0,$$ подходит только $$z=1,$$ то есть

$$y=\pm 1,\quad y=0.$$

Возвращаясь к $$x,$$ получаем:

$$x+1=-1 \Rightarrow x=-2,\qquad x+1=1 \Rightarrow x=0,\qquad x+1=0 \Rightarrow x=-1.$$

в) Обозначим $$y=x^2+5x+5.$$ Тогда

$$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=100,$$

то есть

$$(y-1)(y+1)=100 \;\Rightarrow\; y^2-1=100 \;\Rightarrow\; y^2=101.$$

Следовательно,

$$x^2+5x+5=\pm \sqrt{101}.$$

1) $$x^2+5x+5=-\sqrt{101} \;\Rightarrow\; x^2+5x+5+\sqrt{101}=0,$$

$$D=25-4(5+\sqrt{101})<0,$$

действительных корней нет.

2) $$x^2+5x+5=\sqrt{101} \;\Rightarrow\; x^2+5x+5-\sqrt{101}=0,$$

$$D=25-4(5-\sqrt{101})=5+4\sqrt{101}.$$

Тогда

$$x=\frac{-5\pm \sqrt{5+4\sqrt{101}}}{2}.$$

г) Пусть $$y=x+1.$$ Тогда

$$x^4+(x+2)^4=17 \;\Rightarrow\; (y-1)^4+(y+1)^4=17.$$

Раскроем скобки:

$$(y-1)^4+(y+1)^4=2y^4+12y^2+2.$$

Получаем

$$2y^4+12y^2+2=17 \;\Rightarrow\; 2y^4+12y^2-15=0.$$

Положим $$z=y^2.$$ Тогда

$$2z^2+12z-15=0.$$

$$D=12^2+4\cdot 2\cdot 15=264,\quad z=\frac{-12\pm \sqrt{264}}{4}=-3\pm \frac{\sqrt{66}}{2}.$$

Так как $$z=y^2\ge 0,$$ подходит только

$$y^2=-3+\frac{\sqrt{66}}{2}.$$

Следовательно,

$$y=\pm \sqrt{-3+\frac{\sqrt{66}}{2}}.$$

Возвращаясь к $$x,$$ получаем

$$x=-1\pm \sqrt{-3+\frac{\sqrt{66}}{2}}.$$

Ответ

а) $$-6,\;0$$; б) $$-2,\;-1,\;0$$; в) $$\dfrac{-5\pm \sqrt{5+4\sqrt{101}}}{2}$$; г) $$-1\pm \sqrt{-3+\dfrac{\sqrt{66}}{2}}.$$